A symmetrical rigid body moving freely in space is powered with jet engines symmetrically placed with respect to the 3 -axis of the body, which supply a constant torque
about the symmetry axis. Find the general solution for the angular velocity vector as a function of time, relative to body axes, and describe how the angular velocity vector moves relative to the body.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um corpo rígido simétrico que está se movendo livremente no espaço. Ele tem motores a jato colocados de maneira simétrica em relação ao eixo 3, que aplicam um torque constante $ N_3 $ nesse eixo de simetria. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral para o vetor velocidade angular $ \omega(t) $ em função do tempo, usando os eixos do próprio corpo, e também descrever como esse vetor se comporta em relação ao corpo.
Matéria envolvida: Dinâmica de corpos rígidos, especialmente no que diz respeito à rotação e aos torques aplicados.
O que vamos precisar: Conhecimentos sobre momentos de inércia, equações de movimento para corpos rígidos em referência aos eixos do próprio corpo, e solução de equações diferenciais relacionadas à rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um corpo rígido, o momento angular $ \mathbf{L} $ está relacionado à velocidade angular $ \boldsymbol{\omega} $ pelo tensor de inércia $ \mathbf{I} $:
Como o corpo é simétrico em relação ao eixo 3, podemos assumir que os momentos de inércia nos eixos 1 e 2 são iguais, ou seja, $ I_1 = I_2 = I $, e $ I_3 $ pode ser diferente.
Passo 3
Agora, vamos usar as equações de movimento para um corpo rígido em rotação, que são dadas por:
Onde $ \mathbf{N} $ é o torque aplicado. No nosso caso, o torque é constante e somente no eixo 3, então $ \mathbf{N} = (0, 0, N_3) $.
Substituindo $ \mathbf{L} $ na equação:
Passo 4
Como $ I_1 = I_2 = I $ e $ I_3 $, podemos escrever as equações para cada componente:
Para o eixo 1:
Para o eixo 2:
Para o eixo 3:
Passo 5
Das equações dos eixos 1 e 2, observamos que podemos dividir uma pela outra para simplificar:
Isso sugere que $ \omega_1 $ e $ \omega_2 $ estão relacionadas de forma que a razão entre elas se mantém constante. Portanto, podemos assumir que $ \omega_1 = \omega_0 \cos(\theta) $ e $ \omega_2 = \omega_0 \sin(\theta) $, onde $ \omega_0 $ é uma constante e $ \theta $ é o ângulo de rotação no plano 1-2.
Passo 6
Para a equação do eixo 3:
Integrando ambos os lados em relação ao tempo:
Onde $ \omega_{3,0} $ é a velocidade angular inicial no eixo 3.
Passo 7
Agora, combinando as informações das equações dos eixos 1 e 2, e considerando que $ \omega_1 $ e $ \omega_2 $ estão oscilando devido à simetria e ao torque aplicado, temos que:
Resposta
A velocidade angular do corpo em função do tempo, nos eixos do corpo, é dada por:
Isso significa que o vetor velocidade angular está girando no plano dos eixos 1 e 2 com uma frequência determinada pelo torque $ N_3 $ e pelo momento de inércia $ I_3 $, enquanto sua componente ao longo do eixo 3 aumenta linearmente com o tempo devido ao torque constante aplicado.