A cone of mass
, height
, and generating angle
, about its axis of symmetry, and about an axis through the apex perpendicular to the axis of symmetry. Find the center of mass of the cone.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre encontrar o centro de massa de um cone. O enunciado pede para determinar o centro de massa do cone em relação à sua eixo de simetria e também em relação a um eixo perpendicular passando pelo vértice. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Centro de Massa e Geometria de Corpos Sólidos. Basicamente, o centro de massa é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do objeto está concentrada.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um sistema de coordenadas que facilite nossos cálculos. Vamos colocar a origem no vértice do cone e alinhar o eixo z com a eixo de simetria do cone. Assim, o cone se estende do vértice (origem) até a base no ponto $ z = h $, onde $ h $ é a altura do cone.
Passo 3
Para encontrar o centro de massa, vamos usar a definição:
Como o cone é simétrico em torno do eixo z, sabemos que as coordenadas x e y do centro de massa serão zero. Portanto, só precisamos encontrar a coordenada z do centro de massa.
Passo 4
Vamos considerar uma fatia do cone a uma altura $ z $ com espessura $ dz $. O raio dessa fatia $ r(z) $ está relacionado com a altura pelo ângulo geratriz $ \alpha $:
A área dessa fatia é $ \pi r(z)^2 $, e o volume $ dV $ dessa fatia é:
Como a massa total $ M $ do cone é:
Passo 5
Agora, a coordenada z do centro de massa é:
Como $ dm = \rho dV $ e $ \rho = \frac{M}{V} $, podemos simplificar:
Resolvendo a integral:
Substituindo de volta:
Resposta
O centro de massa do cone está localizado a uma altura de
da base ao longo do eixo de simetria.