Through a sphere of mass M, radius R, a plane saw cut is made at a distance 12 R from the center. The smaller piece of the sphere is discarded. Find the center of mass of the remaining piece, and the moments of inertia about its axis of symmetry, and about a perpendicular axis through the center of mass.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera com massa $ M $ e raio $ R $. Foi feita um corte plano na esfera a uma distância de $ \frac{1}{2}R $ do centro. A parte menor dessa esfera foi descartada. Nosso objetivo é descobrir três coisas:
  1. O centro de massa da parte restante.
  2. O momento de inércia dessa parte em relação ao seu eixo de simetria.
  3. O momento de inércia em relação a um eixo perpendicular que passa pelo centro de massa.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, cálculo de volumes e integrais para encontrar o centro de massa e os momentos de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a esfera e o corte que foi feito. Imagine uma esfera perfeita. O corte foi feito paralelo a um dos eixos, a uma distância de $ \frac{1}{2}R $ do centro. Isso significa que removemos uma “tampa” esférica menor.

Passo 3

Para encontrar o centro de massa da parte restante, precisamos calcular a posição média das partículas que compõem essa parte. Para isso, vamos usar a fórmula do centro de massa para corpos contínuos:
rcm = 1M' integral r , dm
Onde $ M’ $ é a massa da parte restante e $ \vec{r} $ é a posição de cada diferencial de massa $ dm $.

Passo 4

Vamos determinar primeiro o volume da parte removida e da parte restante. O volume de uma esfera completa é:
Vesfera = 43pi R^3
O volume da “tampa” removida pode ser calculado usando a fórmula do volumen de uma corte esférico (também conhecida como segmento esférico):
Vtampa = pi h^23(3R - h)
Onde $ h = \frac{1}{2}R $ é a altura da tampa.
Substituindo $ h $:
h = 12R
Então, o volume da parte restante é:
h

Passo 5

Assumindo que a densidade da esfera é uniforme, a massa da parte restante $ M’ $ é proporcional ao seu volume:
M'

Passo 6

Para encontrar o centro de massa, notamos que devido à simetria em relação ao eixo do corte, o deslocamento do centro de massa ocorrerá apenas na direção perpendicular ao plano do corte.
Usando a fórmula para o centro de massa de um segmento esférico:
zcm = Vtampa cdot (R - 35h)V'
Substituindo os valores:
zcm = 5pi R^324 cdot (R - 35 cdot 12R)1124pi R^3 = 5pi R^324 cdot (710R)1124pi R^3 = 35240pi R^41124pi R^3 = 35240 cdot 2411 R = 35110 R = 722 R
Então, o centro de massa está a $ \frac{7}{22}R $ do centro original da esfera.

Passo 7

Agora, vamos calcular o momento de inércia da parte restante em relação ao seu eixo de simetria. O momento de inércia para uma esfera sólida em torno de um eixo que passa pelo seu centro é:
Iesfera = 25MR^2
No nosso caso, como estamos trabalhando com a parte restante da esfera, ajustamos a massa:
Iparte = 25M'R^2 = 25 cdot 1132M R^2 = 1180MR^2

Passo 8

Por fim, vamos calcular o momento de inércia em relação a um eixo perpendicular que passa pelo centro de massa. Para isso, usamos o teorema de Steiner, que relaciona o momento de inércia em torno do centro de massa com o momento em torno de um eixo paralelo:
I = Icm + Md^2
Rearranjando para encontrar $ I_{cm} $:
Icm
Onde $ d = \frac{7}{22}R $:
Icm = I - Md^2
Simplificando:
d = 722R

Resposta

O centro de massa da parte restante está a uma distância de $ \frac{7}{22}R $ do centro original da esfera. O momento de inércia em relação ao eixo de simetria é $ \frac{11}{80}MR^2 $ e o momento de inércia em relação a um eixo perpendicular que passa pelo centro de massa é aproximadamente $ 0,0361 , MR^2 $.

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