Um círculo C de raio r>0 tem seu centro A=(x0, y0) no primeiro quadrante do plano (x0>0, y0>0). Determine condições sobre os números x0, y0 e r de modo que C intersecte o eixo x em exatamente um ponto.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um círculo com raio e centro no ponto , que está localizado no primeiro quadrante do plano cartesiano (ou seja, e ). Queremos descobrir quais condições os números , e devem satisfazer para que o círculo intersecte o eixo em exatamente um ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente a equação da circunferência e o conceito de interseção com os eixos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação geral de um círculo no plano cartesiano. A equação de um círculo com centro em (x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2 e raio é dada por:

Passo 3

Agora, para encontrar a interseção do círculo com o eixo (x - x0)^2 + (0 - y0)^2 = r^2 , precisamos substituir (x - x0)^2 + y0^2 = r^2 na equação da circunferência, já que o eixo é definido por todos os pontos onde .
Substituindo na equação do círculo:
Simplificando:

Passo 4

Para que o círculo intersecte o eixo (x - x0)^2 = r^2 - y0^2 em exatamente um ponto, a equação resultante deve ter uma única solução para . Isso significa que a equação quadrática resultante deve ter uma única raiz real. Em termos matemáticos, isso ocorre quando o discriminante da equação quadrática é igual a zero.
Vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação quadrática :
Explicando a teoria: a interseção única ocorre quando o círculo é tangente ao eixo , ou seja, toca o eixo em apenas um ponto. Isso acontece quando a distância do centro do círculo ao eixo é exatamente igual ao raio do círculo.

Passo 5

A distância do centro y0 = r ao eixo é simplesmente o valor de , já que o eixo está onde . Para que o círculo seja tangente ao eixo , essa distância deve ser igual ao raio .
Portanto, temos a condição:

Resposta

Para que o círculo y0 = r intersecte o eixo em exatamente um ponto, a condição necessária é:

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