Um círculo
de raio
tem seu centro
no primeiro quadrante do plano
. Determine condições sobre os números
e
de modo que
intersecte o eixo
em exatamente um ponto.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um círculo
com raio
e centro no ponto
, que está localizado no primeiro quadrante do plano cartesiano (ou seja,
e
). Queremos descobrir quais condições os números
,
e
devem satisfazer para que o círculo
intersecte o eixo
em exatamente um ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente a equação da circunferência e o conceito de interseção com os eixos coordenados.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação geral de um círculo no plano cartesiano. A equação de um círculo com centro em
e raio
é dada por:
Passo 3
Agora, para encontrar a interseção do círculo com o eixo
, precisamos substituir
na equação da circunferência, já que o eixo
é definido por todos os pontos onde
.
Substituindo
na equação do círculo:
Simplificando:
Passo 4
Para que o círculo intersecte o eixo
em exatamente um ponto, a equação resultante deve ter uma única solução para
. Isso significa que a equação quadrática resultante deve ter uma única raiz real. Em termos matemáticos, isso ocorre quando o discriminante da equação quadrática é igual a zero.
Vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação quadrática
:
Explicando a teoria: a interseção única ocorre quando o círculo é tangente ao eixo
, ou seja, toca o eixo
em apenas um ponto. Isso acontece quando a distância do centro do círculo ao eixo
é exatamente igual ao raio do círculo.
Passo 5
A distância do centro
ao eixo
é simplesmente o valor de
, já que o eixo
está onde
. Para que o círculo seja tangente ao eixo
, essa distância deve ser igual ao raio
.
Portanto, temos a condição:
Resposta
Para que o círculo
intersecte o eixo
em exatamente um ponto, a condição necessária é: