Quais dos conjuntos abaixo são uma base? Justifique.
© [ll1 & 0 0 & 1],[ll0 & 1 1 & 0],[ll1 & 1 0 & 1],[ll1 & 0 1 & 1] em M(2,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o conjunto de quatro matrizes dadas forma uma base no espaço das matrizes 2x2, que em matemática chamamos de M(2,2). Para isso, vamos precisar entender o que é uma base e os critérios para que um conjunto seja considerado uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em álgebra linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso das matrizes 2x2, o espaço M(2,2) tem dimensão 4, ou seja, precisamos de 4 matrizes que não possam ser escritas como combinação linear umas das outras e que possam gerar qualquer matriz 2x2 através de combinações lineares.

Passo 3

Agora, vamos analisar as quatro matrizes que foram dadas:
1 & 0 0 & 1, 0 & 1 1 & 0, 1 & 1 0 & 1, 1 & 0 1 & 1
Para verificar se essas matrizes formam uma base, precisamos checar se elas são linearmente independentes.

Passo 4

Vamos entender o que significa linearmente independentes. Um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor (ou matriz) nulo é aquela onde todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se não conseguimos expressar uma matriz como combinação das outras, elas são independentes.

Passo 5

Para verificar a independência linear, vamos supor que exista uma combinação linear dessas matrizes que dê a matriz nula:
c1 1 & 0 0 & 1 + c2 0 & 1 1 & 0 + c3 1 & 1 0 & 1 + c4 1 & 0 1 & 1 = 0 & 0 0 & 0
Isso nos dá um sistema de equações:
  1. c1 + c3 + c4 = 0 (elemento [1,1])
  2. c2 + c3 = 0 (elemento [1,2])
  3. c2 + c4 = 0 (elemento [2,1])
  4. c1 + c3 + c4 = 0 (elemento [2,2])

Passo 6

Vamos resolver esse sistema:
Da equação 2: c2 = -c3
Da equação 3: c4 = -c2 = c3
Substituindo c4 e c2 na equação 1:
c1 + c3 + c3 = c1 + 2c3 = 0
Então, c1 = -2c3
Agora, substituindo c1 na equação 4:
-2c3 + c3 + c3 = 0 0 = 0
Isso nos mostra que há infinitas soluções quando c3 é arbitrário. A única solução trivial (todas as constantes zero) ocorre quando c3 = 0, o que implica c1 = c2 = c4 = 0.

Passo 7

Como a única solução possível é a trivial ( c1 = c2 = c3 = c4 = 0), isso significa que as matrizes são linearmente independentes. Além disso, como temos exatamente 4 matrizes no espaço M(2,2), que tem dimensão 4, essas matrizes também geram o espaço.

Resposta

O conjunto dado forma uma base em M(2,2), pois as quatro matrizes são linearmente independentes e geram todo o espaço das matrizes 2x2.

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