Quais dos conjuntos abaixo são uma base? Justifique.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o conjunto de quatro matrizes dadas forma uma base no espaço das matrizes 2x2, que em matemática chamamos de
. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base e os critérios para que um conjunto seja considerado uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em álgebra linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso das matrizes 2x2, o espaço
tem dimensão 4, ou seja, precisamos de 4 matrizes que não possam ser escritas como combinação linear umas das outras e que possam gerar qualquer matriz 2x2 através de combinações lineares.
Passo 3
Agora, vamos analisar as quatro matrizes que foram dadas:
Para verificar se essas matrizes formam uma base, precisamos checar se elas são linearmente independentes.
Passo 4
Vamos entender o que significa linearmente independentes. Um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor (ou matriz) nulo é aquela onde todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se não conseguimos expressar uma matriz como combinação das outras, elas são independentes.
Passo 5
Para verificar a independência linear, vamos supor que exista uma combinação linear dessas matrizes que dê a matriz nula:
Isso nos dá um sistema de equações:
-
(elemento [1,1]) -
(elemento [1,2]) -
(elemento [2,1]) -
(elemento [2,2])
Passo 6
Vamos resolver esse sistema:
Da equação 2:
Da equação 3:
Substituindo
e
na equação 1:
Então,
Agora, substituindo
na equação 4:
Isso nos mostra que há infinitas soluções quando
é arbitrário. A única solução trivial (todas as constantes zero) ocorre quando
, o que implica
.
Passo 7
Como a única solução possível é a trivial (
), isso significa que as matrizes são linearmente independentes. Além disso, como temos exatamente 4 matrizes no espaço
, que tem dimensão 4, essas matrizes também geram o espaço.
Resposta
O conjunto dado forma uma base em
, pois as quatro matrizes são linearmente independentes e geram todo o espaço das matrizes 2x2.