Quais dos conjuntos abaixo são uma base? Justifique.
(e) t, 1+t, t-t^2 em P2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto t,, 1+t,, t-t^2 é uma base para o espaço P2, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para resolver isso, precisamos saber o que é uma base: ela deve ser composta por vetores (ou, no caso, polinômios) que sejam linearmente independentes e que gerem todo o espaço. Vamos verificar se esses polinômios cumprem esses requisitos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores (ou polinômios) é linearmente independente se a única combinação linear que dá zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, se resolvermos a equação a t + b (1 + t) + c (t - t^2) = 0 e só houver a solução a = b = c = 0, então os polinômios são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos montar a equação:
a t + b (1 + t) + c (t - t^2) = 0
Expandindo os termos, temos:
a t + b + b t + c t - c t^2 = 0
Agrupando os termos semelhantes:
(-c) t^2 + (a + b + c) t + b = 0
Para essa equação ser verdadeira para todo o polinômio igual a zero, os coeficientes de cada potência de t devem ser iguais a zero. Assim, temos o sistema de equações:
-c = 0 a + b + c = 0 b = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação: -c = 0 Rightarrow c = 0.
  2. Da terceira equação: b = 0.
  3. Substituindo b = 0 e c = 0 na segunda equação: a + 0 + 0 = 0 Rightarrow a = 0.
Então, a única solução é a = b = c = 0, o que mostra que os polinômios são linearmente independentes.

Passo 5

Agora, como P2 tem dimensão 3 (já que qualquer base desse espaço tem 3 polinômios), e nosso conjunto tem exatamente 3 polinômios linearmente independentes, podemos concluir que o conjunto t,, 1+t,, t-t^2 também gera todo o espaço P2. Portanto, esse conjunto é uma base para P2.

Resposta

O conjunto t,, 1+t,, t-t^2 é uma base para P2.

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