Quais dos conjuntos abaixo são uma base? Justifique.
(e) em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto é uma base para o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para resolver isso, precisamos saber o que é uma base: ela deve ser composta por vetores (ou, no caso, polinômios) que sejam linearmente independentes e que gerem todo o espaço. Vamos verificar se esses polinômios cumprem esses requisitos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores (ou polinômios) é linearmente independente se a única combinação linear que dá zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, se resolvermos a equação e só houver a solução , então os polinômios são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos montar a equação:
Expandindo os termos, temos:
Agrupando os termos semelhantes:
Para essa equação ser verdadeira para todo o polinômio igual a zero, os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, temos o sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: -c = 0Rightarrowc = 0.
Da terceira equação: b = 0.
Substituindo b = 0 e c = 0 na segunda equação: a + 0 + 0 = 0Rightarrowa = 0.
Então, a única solução é a = b = c = 0, o que mostra que os polinômios são linearmente independentes.
Passo 5
Agora, como P2 tem dimensão 3 (já que qualquer base desse espaço tem 3 polinômios), e nosso conjunto tem exatamente 3 polinômios linearmente independentes, podemos concluir que o conjunto t,, 1+t,, t-t^2 também gera todo o espaço P2. Portanto, esse conjunto é uma base para P2.