Seja P2=a2 t^2+a1 t+a0 / ai in R o conjunto de todos os polinômios reais de grau menor ou igual a 2, munido das operações usuais de adição de vetores e multiplicação por escalar. Mostrar que P2 é um espaço vetorial.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que fala sobre espaços vetoriais, que é uma parte da álgebra linear. O problema pede para mostrar que o conjunto é um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos lembrar o que é um espaço vetorial e verificar se satisfaz todas as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Ele é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 com coeficientes reais. Ou seja, qualquer polinômio que tenha , e o termo constante, com números reais como coeficientes.

Passo 3

Agora, para mostrar que é um espaço vetorial, precisamos verificar se ele satisfaz os axiomas de um espaço vetorial. Esses axiomas incluem propriedades como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência de um vetor nulo, entre outros. Vamos ver cada um deles.

Passo 4

1. Fechamento sob adição:
Se pegarmos dois polinômios qualquer em , digamos e , a soma deles será . Como a soma dos coeficientes reais continua sendo um número real, o resultado também está em . Então, é fechado sob adição.
Teoria aplicada: Fechamento sob adição significa que somar dois elementos do conjunto não sai do conjunto.

Passo 5

2. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Pegando um polinômio qualquer em , , e multiplicando por um escalar , temos . Novamente, como é real e os também são reais, os coeficientes resultantes são reais, e o polinômio resultante está em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.
Teoria aplicada: Fechamento sob multiplicação por escalar significa que multiplicar um elemento do conjunto por um número real não sai do conjunto.

Passo 6

3. Associatividade da adição:
Para qualquer , temos . Isso funciona porque a adição de polinômios é associativa.
Teoria aplicada: Associatividade da adição garante que a ordem em que somamos os elementos não altera o resultado.

Passo 7

4. Comutatividade da adição:
Para qualquer , . A ordem dos polinômios na soma não muda o resultado.
Teoria aplicada: Comutatividade da adição significa que a ordem dos elementos não afeta a soma.

Passo 8

5. Existência do elemento nulo:
Existe um polinômio zero em , que é . Quando somamos esse polinômio com qualquer outro , obtemos de volta.
Teoria aplicada: O elemento nulo é aquele que, quando somado a qualquer elemento do conjunto, não altera o elemento original.

Passo 9

6. Existência de inversos aditivos:
Para qualquer , existe um polinômio em tal que .
Teoria aplicada: Inverso aditivo significa que para cada elemento, existe outro que soma a zero.

Passo 10

7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Para qualquer escalar e polinômios , . Isso é verdade devido às propriedades distributivas dos coeficientes.
Teoria aplicada: Essa propriedade mostra como escalar distribui sobre a soma de vetores.

Passo 11

8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Para quaisquer escalares e polinômio , . Isso também segue das propriedades distributivas dos coeficientes.
Teoria aplicada: Essa propriedade mostra como a soma de escalares distribui sobre a multiplicação por um vetor.

Passo 12

9. Associatividade da multiplicação por escalar:
Para quaisquer escalares e polinômio , . A multiplicação de escalares é associativa, então isso se mantém.
Teoria aplicada: Associatividade da multiplicação por escalar garante que a ordem da multiplicação não afeta o resultado final.

Passo 13

10. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Existe um escalar tal que para todo .
Teoria aplicada: O elemento neutro da multiplicação por escalar é o número que não altera o vetor quando multiplicado por ele.

Resposta

Como satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial sob as operações usuais de adição de polinômios e multiplicação por escalares, podemos concluir que é, de fato, um espaço vetorial.

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