Seja
o conjunto de todos os polinômios reais de grau menor ou igual a 2, munido das operações usuais de adição de vetores e multiplicação por escalar. Mostrar que
é um espaço vetorial.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que fala sobre espaços vetoriais, que é uma parte da álgebra linear. O problema pede para mostrar que o conjunto
é um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos lembrar o que é um espaço vetorial e verificar se
satisfaz todas as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Ele é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 com coeficientes reais. Ou seja, qualquer polinômio que tenha
,
e o termo constante, com números reais como coeficientes.
Passo 3
Agora, para mostrar que
é um espaço vetorial, precisamos verificar se ele satisfaz os axiomas de um espaço vetorial. Esses axiomas incluem propriedades como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência de um vetor nulo, entre outros. Vamos ver cada um deles.
Passo 4
1. Fechamento sob adição:
Se pegarmos dois polinômios qualquer em
, digamos
e
, a soma deles será
. Como a soma dos coeficientes reais continua sendo um número real, o resultado também está em
. Então,
é fechado sob adição.
Teoria aplicada: Fechamento sob adição significa que somar dois elementos do conjunto não sai do conjunto.
Passo 5
2. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Pegando um polinômio qualquer em
,
, e multiplicando por um escalar
, temos
. Novamente, como
é real e os
também são reais, os coeficientes resultantes são reais, e o polinômio resultante está em
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Teoria aplicada: Fechamento sob multiplicação por escalar significa que multiplicar um elemento do conjunto por um número real não sai do conjunto.
Passo 6
3. Associatividade da adição:
Para qualquer
, temos
. Isso funciona porque a adição de polinômios é associativa.
Teoria aplicada: Associatividade da adição garante que a ordem em que somamos os elementos não altera o resultado.
Passo 7
4. Comutatividade da adição:
Para qualquer
,
. A ordem dos polinômios na soma não muda o resultado.
Teoria aplicada: Comutatividade da adição significa que a ordem dos elementos não afeta a soma.
Passo 8
5. Existência do elemento nulo:
Existe um polinômio zero em
, que é
. Quando somamos esse polinômio com qualquer outro
, obtemos
de volta.
Teoria aplicada: O elemento nulo é aquele que, quando somado a qualquer elemento do conjunto, não altera o elemento original.
Passo 9
6. Existência de inversos aditivos:
Para qualquer
, existe um polinômio
em
tal que
.
Teoria aplicada: Inverso aditivo significa que para cada elemento, existe outro que soma a zero.
Passo 10
7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Para qualquer escalar
e polinômios
,
. Isso é verdade devido às propriedades distributivas dos coeficientes.
Teoria aplicada: Essa propriedade mostra como escalar distribui sobre a soma de vetores.
Passo 11
8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Para quaisquer escalares
e polinômio
,
. Isso também segue das propriedades distributivas dos coeficientes.
Teoria aplicada: Essa propriedade mostra como a soma de escalares distribui sobre a multiplicação por um vetor.
Passo 12
9. Associatividade da multiplicação por escalar:
Para quaisquer escalares
e polinômio
,
. A multiplicação de escalares é associativa, então isso se mantém.
Teoria aplicada: Associatividade da multiplicação por escalar garante que a ordem da multiplicação não afeta o resultado final.
Passo 13
10. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Existe um escalar
tal que
para todo
.
Teoria aplicada: O elemento neutro da multiplicação por escalar é o número que não altera o vetor quando multiplicado por ele.
Resposta
Como
satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial sob as operações usuais de adição de polinômios e multiplicação por escalares, podemos concluir que
é, de fato, um espaço vetorial.