Seja S=u, v, w um conjunto L.I. em V. Verifique se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D. justificando sua resposta.
(b) S2=u+v, u-v, u-2 v+w.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto S = u, v, w que é linearmente independente (L.I.) em um espaço vetorial V. A questão pede para a gente verificar se o novo conjunto S2 = u+v, u-v, u-2v+w também é L.I. ou se é linearmente dependente (L.D.). Pra resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear e ver se a única solução para a equação é a trivial (todos os coeficientes iguais a zero).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é L.I. se a única solução para a combinação linear igual a zero é quando todos os coeficientes são zero. Então, vamos montar uma combinação linear dos vetores de S2 igual a zero e ver se isso só acontece com coeficientes nulos.

Passo 3

Vamos supor que existem escalares a, b, e c tais que:
a(u + v) + b(u - v) + c(u - 2v + w) = 0
Agora, vamos distribuir e juntar os termos semelhantes:
(a + b + c)u + (a - b - 2c)v + c w = 0

Passo 4

Como S = u, v, w é um conjunto L.I., os vetores u, v e w são linearmente independentes. Isso significa que os coeficientes de cada vetor na equação acima devem ser iguais a zero. Então, temos o seguinte sistema de equações:
a + b + c = 0 a - b - 2c = 0 c = 0

Passo 5

Da terceira equação, já sabemos que c = 0. Substituindo c = 0 nas primeiras duas equações:
a + b = 0 a - b = 0
Somando as duas equações, temos:
2a = 0 implies a = 0
Então, substituindo a = 0 na primeira equação:
0 + b = 0 implies b = 0

Resposta

A única solução para o sistema é a = b = c = 0. Portanto, o conjunto S2 = u+v, u-v, u-2v+w é linearmente independente (L.I.).

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