Seja um conjunto L.I. em . Verifique se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D. justificando sua resposta.
(b) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto que é linearmente independente (L.I.) em um espaço vetorial . A questão pede para a gente verificar se o novo conjunto também é L.I. ou se é linearmente dependente (L.D.). Pra resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear e ver se a única solução para a equação é a trivial (todos os coeficientes iguais a zero).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é L.I. se a única solução para a combinação linear igual a zero é quando todos os coeficientes são zero. Então, vamos montar uma combinação linear dos vetores de igual a zero e ver se isso só acontece com coeficientes nulos.
Passo 3
Vamos supor que existem escalares , , e tais que:
Agora, vamos distribuir e juntar os termos semelhantes:
Passo 4
Como é um conjunto L.I., os vetores , e são linearmente independentes. Isso significa que os coeficientes de cada vetor na equação acima devem ser iguais a zero. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Da terceira equação, já sabemos que c = 0. Substituindo c = 0 nas primeiras duas equações:
a + b = 0 a - b = 0
Somando as duas equações, temos:
2a = 0 implies a = 0
Então, substituindo a = 0 na primeira equação:
0 + b = 0 implies b = 0
Resposta
A única solução para o sistema é a = b = c = 0. Portanto, o conjunto S2 = u+v, u-v, u-2v+w é linearmente independente (L.I.).