Um círculo
de raio
tem seu centro
no primeiro quadrante do plano
. Determine condições sobre os números
e
de modo que
:
(a) não intersecte os eixos coordenados;
(b) intersecte o eixo
em exatamente um ponto;
© intersecte o eixo
em exatamente dois pontos;
(d) intersecte o eixo
em dois pontos e o eixo
em um ponto.
(a) não intersecte os eixos coordenados;
(b) intersecte o eixo
© intersecte o eixo
(d) intersecte o eixo
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um círculo
com raio
e centro no ponto
que está no primeiro quadrante, ou seja,
e
. Precisamos descobrir condições sobre
,
e
para que o círculo
tenha certos comportamentos em relação aos eixos coordenados.
Vamos precisar entender como um círculo se relaciona com os eixos
e
. Para isso, usamos a equação geral do círculo e analisamos as interseções com os eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação geral de um círculo com centro em
e raio
:
Para encontrar as interseções com os eixos, vamos substituir
para o eixo
e
para o eixo
.
Passo 3
Vamos começar com a parte (a): determinar quando o círculo
não intersecta os eixos coordenados.
Para o círculo não intersectar o eixo
, precisamos que a distância do centro
até o eixo
seja maior que o raio
. A distância do centro ao eixo
é
. Portanto:
Analogamente, para não intersectar o eixo
, a distância do centro ao eixo
é
, então:
Portanto, para que o círculo não intersecte nenhum dos eixos, ambas as condições devem ser verdadeiras:
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b): determinar quando o círculo
intersecta o eixo
em exatamente um ponto.
Isso acontece quando o círculo é tangente ao eixo
. Nesse caso, a distância do centro ao eixo
é igual ao raio:
Além disso, para que o círculo ainda esteja no primeiro quadrante e não intersecte o eixo
, precisamos que:
Passo 5
Seguimos para a parte ©: determinar quando o círculo
intersecta o eixo
em exatamente dois pontos.
Isso ocorre quando o círculo corta o eixo
em dois pontos distintos. Para isso, a distância do centro ao eixo
deve ser menor que o raio:
Além disso, para que o círculo ainda não toque o eixo
, precisamos que:
Passo 6
Por fim, vamos para a parte (d): determinar quando o círculo
intersecta o eixo
em dois pontos e o eixo
em um ponto.
Para que o círculo intersecte o eixo
em dois pontos, a distância do centro ao eixo
deve ser menor que o raio:
E para que seja tangente ao eixo
, a distância ao eixo
deve ser igual ao raio:
Resposta
As condições são:
a)
e
b)
e
c)
e
d)
e
Exercícios relacionados
(UNITAU) A expressão
é igual a:
a) 0
a) 0
Verifique se os pontos
e
são colineares.
Verifique se os pontos são colineares, ou seja, pertencem a uma mesma reta.
e
.
Determine a equação da elipse:
(a) centrada no ponto e com foco no ponto
, que passa pelo ponto
;
(a) centrada no ponto