Um círculo C de raio r>0 tem seu centro A=(x0, y0) no primeiro quadrante do plano (x0>0, y0>0). Determine condições sobre os números x0, y0 e r de modo que C :
(a) não intersecte os eixos coordenados;
(b) intersecte o eixo x em exatamente um ponto;
© intersecte o eixo y em exatamente dois pontos;
(d) intersecte o eixo x em dois pontos e o eixo y em um ponto.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um círculo com raio e centro no ponto que está no primeiro quadrante, ou seja, e . Precisamos descobrir condições sobre , e para que o círculo tenha certos comportamentos em relação aos eixos coordenados.
Vamos precisar entender como um círculo se relaciona com os eixos e . Para isso, usamos a equação geral do círculo e analisamos as interseções com os eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação geral de um círculo com centro em (x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2 e raio :
Para encontrar as interseções com os eixos, vamos substituir para o eixo e para o eixo .

Passo 3

Vamos começar com a parte (a): determinar quando o círculo y0 > r não intersecta os eixos coordenados.
Para o círculo não intersectar o eixo x0 > r , precisamos que a distância do centro x0 > r e y0 > r até o eixo seja maior que o raio . A distância do centro ao eixo é . Portanto:
Analogamente, para não intersectar o eixo , a distância do centro ao eixo é , então:
Portanto, para que o círculo não intersecte nenhum dos eixos, ambas as condições devem ser verdadeiras:

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b): determinar quando o círculo y0 = r intersecta o eixo x0 > r em exatamente um ponto.
Isso acontece quando o círculo é tangente ao eixo . Nesse caso, a distância do centro ao eixo é igual ao raio:
Além disso, para que o círculo ainda esteja no primeiro quadrante e não intersecte o eixo , precisamos que:

Passo 5

Seguimos para a parte ©: determinar quando o círculo x0 < r intersecta o eixo y0 > r em exatamente dois pontos.
Isso ocorre quando o círculo corta o eixo em dois pontos distintos. Para isso, a distância do centro ao eixo deve ser menor que o raio:
Além disso, para que o círculo ainda não toque o eixo , precisamos que:

Passo 6

Por fim, vamos para a parte (d): determinar quando o círculo y0 < r intersecta o eixo x0 = r em dois pontos e o eixo em um ponto.
Para que o círculo intersecte o eixo em dois pontos, a distância do centro ao eixo deve ser menor que o raio:
E para que seja tangente ao eixo , a distância ao eixo deve ser igual ao raio:

Resposta

As condições são:
a) e
b) e
c) e
d) e

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