Determine a equação da elipse:
(a) centrada no ponto e com foco no ponto , que passa pelo ponto ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a equação de uma elipse que está centrada no ponto , tem um foco no ponto e passa pelo ponto . Vamos usar conceitos de geometria analítica para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma elipse. Uma elipse é um conjunto de pontos onde a soma das distâncias de dois focos é constante. A equação geral da elipse com centro em é:
Aqui, é o semi-eixo maior, é o semi-eixo menor, e é a distância do centro a cada foco, onde .

Passo 3

Vamos identificar os valores que já conhecemos:
  • O centro é .
  • Um dos focos está em . A distância entre o centro e o foco é (porque de a é uma unidade na direção x).
  • A elipse passa pelo ponto . A distância desse ponto ao centro é (de a são 3 unidades na direção x). Essa distância corresponde ao semi-eixo maior, então .

Passo 4

Usando a relação , podemos encontrar :

Passo 5

Agora que temos e , e sabendo que o centro da elipse é , podemos substituir esses valores na equação geral da elipse:

Resposta

A equação da elipse é:

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Verifique se os pontos são colineares, ou seja, pertencem a uma mesma reta.
e .
Um círculo de raio tem seu centro no primeiro quadrante do plano . Determine condições sobre os números e de modo que :
(a) não intersecte os eixos coordenados;
(b) intersecte o eixo em exatamente um ponto;
© intersecte o eixo em exatamente dois pontos;
(d) intersecte o eixo em dois pontos e o eixo em um ponto.
Considere o sistema
Determine os valores de e .
Mostre que se for um vetor no plano, então os vetores e são ortogonais a . Use este resultado para determinar dois vetores unitários que são ortogonais a .