Determine a equação da elipse:
(a) centrada no ponto
e com foco no ponto
, que passa pelo ponto
;
(a) centrada no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a equação de uma elipse que está centrada no ponto
, tem um foco no ponto
e passa pelo ponto
. Vamos usar conceitos de geometria analítica para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma elipse. Uma elipse é um conjunto de pontos onde a soma das distâncias de dois focos é constante. A equação geral da elipse com centro em
é:
Aqui,
é o semi-eixo maior,
é o semi-eixo menor, e
é a distância do centro a cada foco, onde
.
Passo 3
Vamos identificar os valores que já conhecemos:
- O centro
é . - Um dos focos está em
. A distância entre o centro e o foco é (porque de a é uma unidade na direção x). - A elipse passa pelo ponto
. A distância desse ponto ao centro é (de a são 3 unidades na direção x). Essa distância corresponde ao semi-eixo maior, então .
Passo 4
Usando a relação
, podemos encontrar
:
Passo 5
Agora que temos
e
, e sabendo que o centro da elipse é
, podemos substituir esses valores na equação geral da elipse:
Resposta
A equação da elipse é:
Exercícios relacionados
Verifique se os pontos são colineares, ou seja, pertencem a uma mesma reta.
e
.
Um círculo
de raio
tem seu centro
no primeiro quadrante do plano
. Determine condições sobre os números
e
de modo que
:
(a) não intersecte os eixos coordenados;
(b) intersecte o eixo em exatamente um ponto;
© intersecte o eixo em exatamente dois pontos;
(d) intersecte o eixo em dois pontos e o eixo
em um ponto.
(a) não intersecte os eixos coordenados;
(b) intersecte o eixo
© intersecte o eixo
(d) intersecte o eixo
Considere o sistema
Determine os valores de
e
.
Mostre que se
for um vetor no plano, então os vetores
e
são ortogonais a
. Use este resultado para determinar dois vetores unitários que são ortogonais a
.