Determine a equação da elipse:
(a) centrada no ponto
e com foco no ponto
, que passa pelo ponto
;
(a) centrada no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a equação de uma elipse que está centrada no ponto
, tem um foco no ponto
e passa pelo ponto
. Vamos usar conceitos de geometria analítica para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma elipse. Uma elipse é um conjunto de pontos onde a soma das distâncias de dois focos é constante. A equação geral da elipse com centro em
é:
Aqui,
é o semi-eixo maior,
é o semi-eixo menor, e
é a distância do centro a cada foco, onde
.
Passo 3
Vamos identificar os valores que já conhecemos:
- O centro
é . - Um dos focos está em
. A distância entre o centro e o foco é (porque de a é uma unidade na direção x). - A elipse passa pelo ponto
. A distância desse ponto ao centro é (de a são 3 unidades na direção x). Essa distância corresponde ao semi-eixo maior, então .
Passo 4
Usando a relação
, podemos encontrar
:
Passo 5
Agora que temos
e
, e sabendo que o centro da elipse é
, podemos substituir esses valores na equação geral da elipse:
Resposta
A equação da elipse é: