Determine a equação da elipse:
(a) centrada no ponto (-1,1) e com foco no ponto (-2,1), que passa pelo ponto (2,1);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a equação de uma elipse que está centrada no ponto (-1,1), tem um foco no ponto (-2,1) e passa pelo ponto (2,1). Vamos usar conceitos de geometria analítica para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma elipse. Uma elipse é um conjunto de pontos onde a soma das distâncias de dois focos é constante. A equação geral da elipse com centro em (h,k) é:
(x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2 = 1
Aqui, a é o semi-eixo maior, b é o semi-eixo menor, e c é a distância do centro a cada foco, onde c^2 = a^2 - b^2.

Passo 3

Vamos identificar os valores que já conhecemos:
  • O centro (h,k) é (-1,1).
  • Um dos focos está em (-2,1). A distância entre o centro e o foco é c = 1 (porque de (-1,1) a (-2,1) é uma unidade na direção x).
  • A elipse passa pelo ponto (2,1). A distância desse ponto ao centro é 3 (de (-1,1) a (2,1) são 3 unidades na direção x). Essa distância corresponde ao semi-eixo maior, então a = 3.

Passo 4

Usando a relação c^2 = a^2 - b^2, podemos encontrar b:
c^2 = a^2 - b^2
1^2 = 3^2 - b^2
1 = 9 - b^2
b^2 = 9 - 1
b^2 = 8

Passo 5

Agora que temos a^2 = 9 e b^2 = 8, e sabendo que o centro da elipse é (-1,1), podemos substituir esses valores na equação geral da elipse:
(x+1)^29 + (y-1)^28 = 1

Resposta

A equação da elipse é:
(x+1)^29 + (y-1)^28 = 1

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