Verifique se os pontos são colineares, ou seja, pertencem a uma mesma reta.
A=(2,2,1), B=(4,1,3) e C=(0,0,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se os pontos A=(2,2,1), B=(4,1,3) e C=(0,0,2) estão colineares, ou seja, se eles estão alinhados na mesma reta. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de vetores e identificar se os vetores formados entre esses pontos são proporcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que ligam os pontos. Vamos calcular o vetor AB e o vetor AC.
  • Vetor AB: Subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B.
    AB = B - A = (4-2, 1-2, 3-1) = (2, -1, 2)
  • Vetor AC: Subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de C.
    AC = C - A = (0-2, 0-2, 2-1) = (-2, -2, 1)

Passo 3

Agora, para verificar se os pontos são colineares, precisamos ver se os vetores AB e AC são proporcionais. Isso significa que existe um número real k tal que:
AB = k cdot AC
Vamos comparar as componentes dos vetores:
  • Primeira componente:
    2 = k cdot (-2) implies k = -1
  • Segunda componente:
    -1 = k cdot (-2) implies k = 12
  • Terceira componente:
    2 = k cdot 1 implies k = 2

Passo 4

Observamos que o valor de k não é o mesmo para todas as componentes:
  • k = -1 na primeira componente,
  • k = 12 na segunda componente,
  • k = 2 na terceira componente.
Como não existe um único valor de k que satisfaça todas as igualdades, isso significa que os vetores AB e AC não são proporcionais.

Resposta

Os pontos A, B e C não são colineares, pois os vetores AB e AC não são proporcionais.

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