Um círculo está inscrito em um triângulo retângulo cujos catetos medem b e c, e cuja hipotenusa mede a. Determine o diâmetro do círculo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um triângulo retângulo com os catetos medindo e , e a hipotenusa medindo . A tarefa é descobrir qual é o diâmetro do círculo que está inscrito nesse triângulo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria sobre círculos inscritos em triângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o raio do círculo inscrito em qualquer triângulo pode ser encontrado usando a fórmula:
r = As
onde é a área do triângulo e é o semiperímetro do triângulo.

Passo 3

Vamos calcular a área A = b times c2 do triângulo retângulo. A área de um triângulo retângulo é dada por:
A = b times c2
Então, substituindo os valores dos catetos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o semiperímetro s = a + b + c2 do triângulo. O semiperímetro é a metade da soma dos lados do triângulo:

Passo 5

Com a área e o semiperímetro calculados, podemos encontrar o raio r = b times c2a + b + c2 = b times ca + b + c do círculo inscrito:

Passo 6

Finalmente, para encontrar o diâmetro D = 2r = 2 times b times ca + b + c = 2bca + b + c do círculo, basta multiplicar o raio por 2:

Resposta

O diâmetro do círculo inscrito no triângulo retângulo é:
D = 2bca + b + c

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