Mostre que a superfície de equação
é um parabolóide hiperbólico, efetuando uma mudança de coordenadas
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a superfície dada pela equação
é um parabolóide hiperbólico. Para isso, vamos usar uma mudança de coordenadas:
,
e
. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, mais especificamente sobre superfícies quadráticas. Vamos precisar entender como fazer a substituição das coordenadas e simplificar a equação resultante para identificar o tipo de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir as expressões de
,
e
na equação original
com as novas coordenadas
,
e
. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o lado direito da equação. Multiplicando os dois termos:
Lembre-se que
, então aplicando isso temos:
Passo 4
Então, a equação fica:
Podemos rearranjar para deixar tudo igual a zero:
Passo 5
Agora, vamos analisar essa equação. Ela tem termos quadráticos em
e
com sinais opostos e um termo linear em
. Esse tipo de equação caracteriza um parabolóide hiperbólico, que é uma superfície quadrática de segunda ordem com uma sela.
Resposta
Portanto, após a mudança de coordenadas, a equação
transforma-se em
, que é a equação de um parabolóide hiperbólico. Assim, mostramos que a superfície original é um parabolóide hiperbólico.