Mostre que a superfície de equação z=x y é um parabolóide hiperbólico, efetuando uma mudança de coordenadas x=u+vraiz2, y=u-vraiz2 e z=w.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a superfície dada pela equação é um parabolóide hiperbólico. Para isso, vamos usar uma mudança de coordenadas: , e . Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, mais especificamente sobre superfícies quadráticas. Vamos precisar entender como fazer a substituição das coordenadas e simplificar a equação resultante para identificar o tipo de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir as expressões de w = ( u + vraiz2 ) ( u - vraiz2 ) , e na equação original com as novas coordenadas , e . Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o lado direito da equação. Multiplicando os dois termos:
w = (u + v)(u - v)2
Lembre-se que w = u^2 - v^22 , então aplicando isso temos:

Passo 4

Então, a equação fica:
u^2 - v^2 = 2w
Podemos rearranjar para deixar tudo igual a zero:
u^2 - v^2 - 2w = 0

Passo 5

Agora, vamos analisar essa equação. Ela tem termos quadráticos em e com sinais opostos e um termo linear em . Esse tipo de equação caracteriza um parabolóide hiperbólico, que é uma superfície quadrática de segunda ordem com uma sela.

Resposta

Portanto, após a mudança de coordenadas, a equação transforma-se em , que é a equação de um parabolóide hiperbólico. Assim, mostramos que a superfície original é um parabolóide hiperbólico.

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