Prove que todo paralelogramo inscrito em um círculo é retângulo.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que todo paralelogramo inscrito em um círculo é um retângulo. Isso envolve conceitos de geometria plana, especificamente sobre paralelogramos e quadriláteros inscritos em círculos (chamados de quadriláteros cíclicos). Vamos usar propriedades de ângulos em paralelogramos e condições para que um quadrilátero seja cíclico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um paralelogramo tem lados opostos paralelos e ângulos opostos iguais. Além disso, em um paralelogramo, a soma de dois ângulos internos consecutivos é igual a 180°, ou seja:
alpha + beta = 180°
onde e são dois ângulos consecutivos do paralelogramo.

Passo 3

Agora, consideramos que o paralelogramo está inscrito em um círculo. Isso significa que todos os seus vértices estão sobre a circunferência do círculo, tornando-o um quadrilátero cíclico. Uma propriedade importante de quadriláteros cíclicos é que a soma dos ângulos opostos é 180°, ou seja:
alpha + gamma = 180°
beta + de
onde e são os outros dois ângulos do paralelogramo.

Passo 4

Comparando as duas condições, vemos que no paralelogramo temos:
alpha + beta = 180°
alpha + gamma = 180°
Isso implica que alpha = gamma e beta = de. Mas, em um paralelogramo, os ângulos opostos são iguais, então também. Portanto, todos os quatro ângulos do paralelogramo são iguais:

Passo 5

Se todos os quatro ângulos de um paralelogramo são iguais e a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360°, então cada ângulo mede:
alpha = beta = gamma = de

Passo 6

Isso significa que todos os ângulos do paralelogramo são retos, caracterizando-o como um retângulo. Portanto, todo paralelogramo inscrito em um círculo é um retângulo.

Resposta

Todo paralelogramo inscrito em um círculo é um retângulo.

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