Prove que todo paralelogramo inscrito em um círculo é retângulo.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar que todo paralelogramo inscrito em um círculo é um retângulo. Isso envolve conceitos de geometria plana, especificamente sobre paralelogramos e quadriláteros inscritos em círculos (chamados de quadriláteros cíclicos). Vamos usar propriedades de ângulos em paralelogramos e condições para que um quadrilátero seja cíclico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um paralelogramo tem lados opostos paralelos e ângulos opostos iguais. Além disso, em um paralelogramo, a soma de dois ângulos internos consecutivos é igual a 180°, ou seja:
onde
e
são dois ângulos consecutivos do paralelogramo.
Passo 3
Agora, consideramos que o paralelogramo está inscrito em um círculo. Isso significa que todos os seus vértices estão sobre a circunferência do círculo, tornando-o um quadrilátero cíclico. Uma propriedade importante de quadriláteros cíclicos é que a soma dos ângulos opostos é 180°, ou seja:
onde
e
são os outros dois ângulos do paralelogramo.
Passo 4
Comparando as duas condições, vemos que no paralelogramo temos:
Isso implica que
. Mas, em um paralelogramo, os ângulos opostos são iguais, então
também. Portanto, todos os quatro ângulos do paralelogramo são iguais:
Passo 5
Se todos os quatro ângulos de um paralelogramo são iguais e a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360°, então cada ângulo mede:
Passo 6
Isso significa que todos os ângulos do paralelogramo são retos, caracterizando-o como um retângulo. Portanto, todo paralelogramo inscrito em um círculo é um retângulo.
Resposta
Todo paralelogramo inscrito em um círculo é um retângulo.