Em um triângulo equilátero, mostre que o círculo inscrito e o círculo circunscrito têm o mesmo centro.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um triângulo equilátero, que é um triângulo com todos os lados iguais e todos os ângulos iguais a 60 graus. O exercício quer que a gente mostre que o círculo inscrito (aquele que está dentro do triângulo tocando todos os lados) e o círculo circunscrito (aquele que passa por todos os vértices do triângulo) têm o mesmo centro. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre centro de círculos em triângulos: o incentro e o circuncentro.

Passo 2

Vamos começar lembrando que o incentro de um triângulo é o ponto onde as bissetrizes dos ângulos se encontram. Uma bissetriz é uma linha que divide um ângulo em duas partes iguais. Já o circuncentro é o ponto onde as mediatrizes dos lados se encontram, sendo a mediatriz uma linha perpendicular ao lado no seu ponto médio.

Passo 3

No caso de um triângulo equilátero, todas as bissetrizes, mediatrizes, alturas e medianas coincidem. Isso significa que todas essas linhas se encontram no mesmo ponto. Portanto, o incentro e o circuncentro estão no mesmo lugar, pois ambos são determinados por essas linhas que se sobrepõem.

Passo 4

Como o incentro é o centro do círculo inscrito e o circuncentro é o centro do círculo circunscrito, e vimos que esses centros coincidem no triângulo equilátero, concluímos que ambos os círculos têm o mesmo centro nesse tipo de triângulo.

Resposta

Em um triângulo equilátero, o círculo inscrito e o círculo circunscrito têm o mesmo centro porque, nesse tipo de triângulo, as bissetrizes e as mediatrizes coincidem, fazendo com que os incentro e circuncentro sejam o mesmo ponto.

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