Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos de R^3 que são equidistantes da reta r: X= (0,0,0)+lambda(1,1,0) e do plano pi: x+y=0, e identifique-o.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação do lugar geométrico dos pontos no espaço tridimensional que estão equidistantes de uma reta específica e de um plano. Vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço para resolver isso. Precisaremos saber calcular distâncias de pontos a retas e a planos, além de manipular equações no espaço 3D.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as figuras envolvidas:
  • Reta : Dada por . Isso significa que a reta passa pela origem e tem direção no vetor .
  • Plano : Dado por . Esse plano é perpendicular ao vetor normal .

Passo 3

Queremos encontrar todos os pontos que estão equidistantes da reta e do plano . Ou seja, a distância de até deve ser igual à distância de até .

Passo 4

Vamos lembrar das fórmulas de distância:
  • Distância de um ponto dplano = |Ax + By + Cz + D|raizA^2 + B^2 + C^2 a um plano dreta = |u times (P - a)||u| :
  • Distância de um ponto a uma reta definida por :

Passo 5

Vamos aplicar essas fórmulas às nossas figuras:
  • Para o plano dplano = |x + y|raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = |x + y|raiz2 , temos dreta = | u times P ||u| = | (1,1,0) times (x,y,z) |raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = | (0,0, x - y) |raiz2 = |x - y|raiz2 , , , . Então:
  • Para a reta , temos e . Então, a distância é:

Passo 6

Queremos que essas duas distâncias sejam iguais:
|x + y|raiz2 = |x - y|raiz2
Multiplicando ambos os lados por |x + y| = |x - y| , simplificamos:

Passo 7

Vamos resolver a equação x + y = x - y implies 2y = 0 implies y = 0 . Existem duas possibilidades:
  1. x + y = -x + y implies 2x = 0 implies x = 0 :
  2. :

Passo 8

Portanto, a equação nos dá duas possibilidades: ou . Isso significa que o lugar geométrico dos pontos equidistantes da reta e do plano consiste nas duas retas coordenadas e no espaço tridimensional.

Resposta

O lugar geométrico é o conjunto das duas retas coordenadas e no espaço tridimensional, ou seja, a união das retas e .

Exercícios relacionados