Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos de
que são equidistantes da reta
e do plano
, e identifique-o.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação do lugar geométrico dos pontos no espaço tridimensional que estão equidistantes de uma reta específica e de um plano. Vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço para resolver isso. Precisaremos saber calcular distâncias de pontos a retas e a planos, além de manipular equações no espaço 3D.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as figuras envolvidas:
- Reta
: Dada por . Isso significa que a reta passa pela origem e tem direção no vetor . - Plano
: Dado por . Esse plano é perpendicular ao vetor normal .
Passo 3
Queremos encontrar todos os pontos
que estão equidistantes da reta
e do plano
. Ou seja, a distância de
até
deve ser igual à distância de
até
.
Passo 4
Vamos lembrar das fórmulas de distância:
-
Distância de um ponto
a um plano : -
Distância de um ponto
a uma reta definida por :
Passo 5
Vamos aplicar essas fórmulas às nossas figuras:
-
Para o plano
, temos , , , . Então: -
Para a reta
, temos e . Então, a distância é:
Passo 6
Queremos que essas duas distâncias sejam iguais:
Multiplicando ambos os lados por
, simplificamos:
Passo 7
Vamos resolver a equação
. Existem duas possibilidades:
-
: -
:
Passo 8
Portanto, a equação
nos dá duas possibilidades:
ou
. Isso significa que o lugar geométrico dos pontos equidistantes da reta
e do plano
consiste nas duas retas coordenadas
e
no espaço tridimensional.
Resposta
O lugar geométrico é o conjunto das duas retas coordenadas
e
no espaço tridimensional, ou seja, a união das retas
e
.