Em I R^2, uma circunferência de centro no ponto C(4,-3) é tangente à reta de equação x-y+3=0. Se essa circunferência tem equação x^2+y^2+p x+q y+r=0, o valor de (p+q-r) é:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma circunferência no plano com centro no ponto que é tangente à reta . A equação geral da circunferência é dada por . Nosso objetivo é encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral da circunferência pode ser reescrita na forma padrão h = -p2, k = -q2, R = raiz(p2)^2 + (q2)^2 - r , onde 4 = -p2 Rightarrow p = -8 é o centro e -3 = -q2 Rightarrow q = 6 é o raio. Comparando com a equação dada , podemos identificar que:
Como o centro é , temos:

Passo 3

Agora precisamos encontrar o raio Distância = |A h + B k + C|raizA^2 + B^2 . Sabemos que a circunferência é tangente à reta Distância = |1 cdot 4 + (-1) cdot (-3) + 3|raiz1^2 + (-1)^2 = |4 + 3 + 3|raiz2 = 10raiz2 = 5raiz2 . A distância entre o centro da circunferência e a reta é igual ao raio . A fórmula da distância é:
â
Aqui, , , , , e . Vamos calcular:
â
Então, .

Passo 4

Agora que temos R^2 = (p2)^2 + (q2)^2 - r , podemos usar a relação entre o raio e os coeficientes da equação geral para encontrar (5raiz2)^2 = (-82)^2 + (62)^2 - r Rightarrow 50 = 16 + 9 - r :
50 = 25 - r Rightarrow r = -25
Substituindo os valores:

Resposta

O valor de é .

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