No plano cartesiano, considere a reta de equação 2 x-y=5 e a circunferência de equação x^2+y^2-2 x-4 y+3=0. Podemos afirmar que
a) a reta passa pelo centro da circunferência.
b) a reta é tangente à circunferência.
c) a circunferência intercepta o eixo y em dois pontos cuja distância é 2 .
d) a circunferência intercepta o eixo x em dois pontos cuja distância é 1.
e) a área do círculo determinado pela circunferência é 4 u.a…

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma reta com a equação e uma circunferência com a equação . Nosso objetivo é descobrir qual das alternativas (a, b, c, d ou e) está correta. Para isso, vamos precisar entender como encontrar o centro e o raio da circunferência, determinar se a reta passa pelo centro ou é tangente à circunferência, calcular pontos de interseção com os eixos e, finalmente, calcular a área do círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro e o raio da circunferência. Para isso, vamos completar o quadrado nas variáveis x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 = 0 e x^2 - 2x + y^2 - 4y = -3 .
A equação da circunferência é:
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
Reorganizando os termos:
y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4
Agora, completamos o quadrado para (x - 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 = -3 e para (x - 1)^2 + (y - 2)^2 - 5 = -3 :
Para (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 2 :
Para :
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Então, o centro da circunferência é e o raio .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a reta 2(1) - 2 = 5 Rightarrow 2 - 2 = 0 neq 5 passa pelo centro da circunferência .
Substituímos e na equação da reta:
Como , a reta não passa pelo centro da circunferência. Portanto, a alternativa a) está errada.

Passo 4

Vamos verificar se a reta é tangente à circunferência. Para isso, calculamos a distância entre o centro da circunferência D = |Ax0 + By0 + C|raizA^2 + B^2 e a reta 2x - y - 5 = 0 .
A fórmula da distância de um ponto D = |2(1) -1(2) -5|raiz2^2 + (-1)^2 = |2 - 2 -5|raiz4 + 1 = 5raiz5 = raiz5 approx 2,24 a uma reta é:
Reescrevendo a equação da reta:
Aqui, , , e . Substituindo:
Como o raio da circunferência é e , a reta não é tangente à circunferência. Portanto, a alternativa b) está errada.

Passo 5

Vamos agora verificar a alternativa c): “a circunferência intercepta o eixo y em dois pontos cuja distância é 2”.
Para encontrar os pontos de interseção com o eixo y, colocamos 0^2 + y^2 - 2(0) - 4y + 3 = 0 Rightarrow y^2 - 4y + 3 = 0 na equação da circunferência:
y = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 1 cdot 32 cdot 1 = 4 pm raiz16 - 122 = 4 pm 22
Resolvendo a equação quadrática:
d = |3 - 1| = 2
Então, e .
Os pontos de interseção são e . A distância entre eles é:
Portanto, a alternativa c) está correta.

Passo 6

Para completar, vamos verificar se há mais alguma alternativa correta.
d) “a circunferência intercepta o eixo x^2 + 0^2 - 2x - 4(0) + 3 = 0 Rightarrow x^2 - 2x + 3 = 0 em dois pontos cuja distância é 1”.
Vamos encontrar os pontos de interseção com o eixo De, onde A = pi r^2 = pi (raiz2)^2 = pi cdot 2 approx 6,28 :
Calculando o discriminante:
Como , não há interseção com o eixo . Então, a alternativa d) está errada.
e) “a área do círculo determinado pela circunferência é 4 u.a.”.
Sabemos que o raio . A área é:
Como 4 não é igual a , a alternativa e) está errada.

Resposta

A alternativa c) está correta.

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