No plano cartesiano, considere a reta de equação
e a circunferência de equação
. Podemos afirmar que
a) a reta passa pelo centro da circunferência.
b) a reta é tangente à circunferência.
c) a circunferência intercepta o eixo y em dois pontos cuja distância é 2 .
d) a circunferência intercepta o eixo
em dois pontos cuja distância é 1.
e) a área do círculo determinado pela circunferência é 4 u.a…
a) a reta passa pelo centro da circunferência.
b) a reta é tangente à circunferência.
c) a circunferência intercepta o eixo y em dois pontos cuja distância é 2 .
d) a circunferência intercepta o eixo
e) a área do círculo determinado pela circunferência é 4 u.a…
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma reta com a equação
e uma circunferência com a equação
. Nosso objetivo é descobrir qual das alternativas (a, b, c, d ou e) está correta. Para isso, vamos precisar entender como encontrar o centro e o raio da circunferência, determinar se a reta passa pelo centro ou é tangente à circunferência, calcular pontos de interseção com os eixos e, finalmente, calcular a área do círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro e o raio da circunferência. Para isso, vamos completar o quadrado nas variáveis
e
.
A equação da circunferência é:
Reorganizando os termos:
Agora, completamos o quadrado para
e para
:
Para
:
Para
:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Então, o centro da circunferência é
e o raio
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a reta
passa pelo centro da circunferência
.
Substituímos
e
na equação da reta:
Como
, a reta não passa pelo centro da circunferência. Portanto, a alternativa a) está errada.
Passo 4
Vamos verificar se a reta é tangente à circunferência. Para isso, calculamos a distância entre o centro da circunferência
e a reta
.
A fórmula da distância de um ponto
a uma reta
é:
Reescrevendo a equação da reta:
Aqui,
,
, e
. Substituindo:
Como o raio da circunferência é
e
, a reta não é tangente à circunferência. Portanto, a alternativa b) está errada.
Passo 5
Vamos agora verificar a alternativa c): “a circunferência intercepta o eixo y em dois pontos cuja distância é 2”.
Para encontrar os pontos de interseção com o eixo y, colocamos
na equação da circunferência:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
e
.
Os pontos de interseção são
e
. A distância entre eles é:
Portanto, a alternativa c) está correta.
Passo 6
Para completar, vamos verificar se há mais alguma alternativa correta.
d) “a circunferência intercepta o eixo
em dois pontos cuja distância é 1”.
Vamos encontrar os pontos de interseção com o eixo
, onde
:
Calculando o discriminante:
Como
, não há interseção com o eixo
. Então, a alternativa d) está errada.
e) “a área do círculo determinado pela circunferência é 4 u.a.”.
Sabemos que o raio
. A área é:
Como 4 não é igual a
, a alternativa e) está errada.
Resposta
A alternativa c) está correta.
Exercícios relacionados
Dada a circunferência de equação
e o ponto
, obtenha as equações das retas tangentes à circunferência, passando por
e posteriormente encontre a intersecção dessas retas com o eixo x.
A reta
de equação
intercepta a circunferência de centro na origem e raio
em dois pontos
e
, sendo que as coordenadas de
são ambas positivas. Determine
a equação da reta s, perpendicular a , passando por
.
a equação da reta s, perpendicular a
Em
, uma circunferência de centro no ponto
é tangente à reta de equação
. Se essa circunferência tem equação
, o valor de
é:
Quais das seguintes aplicações são transformaçōes lineares?
tal que
, onde