No plano cartesiano, considere a reta de equação e a circunferência de equação . Podemos afirmar que
a) a reta passa pelo centro da circunferência.
b) a reta é tangente à circunferência.
c) a circunferência intercepta o eixo y em dois pontos cuja distância é 2 .
d) a circunferência intercepta o eixo em dois pontos cuja distância é 1.
e) a área do círculo determinado pela circunferência é 4 u.a…

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma reta com a equação e uma circunferência com a equação . Nosso objetivo é descobrir qual das alternativas (a, b, c, d ou e) está correta. Para isso, vamos precisar entender como encontrar o centro e o raio da circunferência, determinar se a reta passa pelo centro ou é tangente à circunferência, calcular pontos de interseção com os eixos e, finalmente, calcular a área do círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro e o raio da circunferência. Para isso, vamos completar o quadrado nas variáveis e .
A equação da circunferência é:
Reorganizando os termos:
Agora, completamos o quadrado para e para :
Para :
Para :
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Então, o centro da circunferência é e o raio .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a reta passa pelo centro da circunferência .
Substituímos e na equação da reta:
Como , a reta não passa pelo centro da circunferência. Portanto, a alternativa a) está errada.

Passo 4

Vamos verificar se a reta é tangente à circunferência. Para isso, calculamos a distância entre o centro da circunferência e a reta .
A fórmula da distância de um ponto a uma reta é:
Reescrevendo a equação da reta:
Aqui, , , e . Substituindo:
Como o raio da circunferência é e , a reta não é tangente à circunferência. Portanto, a alternativa b) está errada.

Passo 5

Vamos agora verificar a alternativa c): “a circunferência intercepta o eixo y em dois pontos cuja distância é 2”.
Para encontrar os pontos de interseção com o eixo y, colocamos na equação da circunferência:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, e .
Os pontos de interseção são e . A distância entre eles é:
Portanto, a alternativa c) está correta.

Passo 6

Para completar, vamos verificar se há mais alguma alternativa correta.
d) “a circunferência intercepta o eixo em dois pontos cuja distância é 1”.
Vamos encontrar os pontos de interseção com o eixo , onde :
Calculando o discriminante:
Como , não há interseção com o eixo . Então, a alternativa d) está errada.
e) “a área do círculo determinado pela circunferência é 4 u.a.”.
Sabemos que o raio . A área é:
Como 4 não é igual a , a alternativa e) está errada.

Resposta

A alternativa c) está correta.

Exercícios relacionados

Dada a circunferência de equação e o ponto , obtenha as equações das retas tangentes à circunferência, passando por e posteriormente encontre a intersecção dessas retas com o eixo x.
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a equação da reta s, perpendicular a , passando por .
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