Dada a circunferência de equação x^2+y^2=9 e o ponto P(3,5), obtenha as equações das retas tangentes à circunferência, passando por P e posteriormente encontre a intersecção dessas retas com o eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma circunferência com a equação e um ponto fora dessa circunferência. Nosso objetivo é encontrar as equações das retas tangentes a essa circunferência que passam por e, depois, descobrir onde essas retas cortam o eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma reta tangente. Uma reta tangente a uma circunferência toca a circunferência em exatamente um ponto. Para encontrar essas retas, precisamos usar a condição de tangência, que relaciona a distância entre o ponto e o centro da circunferência com o raio.

Passo 3

A circunferência tem centro na origem e raio (já que ). O ponto está fora da circunferência, pois a distância dele ao centro é maior que o raio.

Passo 4

Vamos calcular a distância entre d = raiz(3-0)^2 + (5-0)^2 = raiz9 + 25 = raiz34 e o centro usando a fórmula da distância:
Como , sabemos que existem duas retas tangentes.

Passo 5

A inclinação das retas tangentes pode ser encontrada usando a fórmula da inclinação das retas tangentes a uma circunferência a partir de um ponto externo:
m = y1x1 pm rraizx1^2 + y1^2 - r^2
Onde e .

Passo 6

Vamos calcular a parte dentro da raiz:
raizx1^2 + y1^2 - r^2 = raiz3^2 + 5^2 - 3^2 = raiz9 + 25 - 9 = raiz25 = 5
Então, as inclinações são:
m = 53 pm 35
Calculando as duas possibilidades:
m1 = 53 + 35 = 25 + 915 = 3415
m2 = 53 - 35 = 25 - 915 = 1615

Passo 7

Agora que temos as inclinações das retas tangentes, podemos escrever as equações das retas na forma ponto-inclinação: y - 5 = 3415(x - 3) .
Para y - 5 = 1615(x - 3) :
Para :

Passo 8

Vamos simplificar as equações das retas.
Para a primeira reta:
y - 5 = 3415x - 10215
y = 3415x - 10215 + 5
y = 3415x - 10215 + 7515
y = 3415x - 2715
y = 3415x - 95
Para a segunda reta:
y - 5 = 1615x - 4815
y = 1615x - 4815 + 5
y = 1615x - 4815 + 7515
y = 1615x + 2715
y = 1615x + 95

Passo 9

Agora, vamos encontrar onde essas retas interceptam o eixo 0 = 3415x - 95 . Para isso, sabemos que no eixo 3415x = 95 , x = 95 cdot 1534 = 135170 = 2734 . Vamos substituir 0 = 1615x + 95 nas equações das retas e resolver para 1615x = -95 .
Para a primeira reta:
x = -95 cdot 1516 = -13580 = -2716
Para a segunda reta:

Resposta

As retas tangentes à circunferência que passam pelo ponto y = 3415x - 95 são:
y = 1615x + 95
E as intersecções dessas retas com o eixo são nos pontos e .

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