Dada a circunferência de equação e o ponto , obtenha as equações das retas tangentes à circunferência, passando por e posteriormente encontre a intersecção dessas retas com o eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma circunferência com a equação e um ponto fora dessa circunferência. Nosso objetivo é encontrar as equações das retas tangentes a essa circunferência que passam por e, depois, descobrir onde essas retas cortam o eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma reta tangente. Uma reta tangente a uma circunferência toca a circunferência em exatamente um ponto. Para encontrar essas retas, precisamos usar a condição de tangência, que relaciona a distância entre o ponto e o centro da circunferência com o raio.

Passo 3

A circunferência tem centro na origem e raio (já que ). O ponto está fora da circunferência, pois a distância dele ao centro é maior que o raio.

Passo 4

Vamos calcular a distância entre e o centro usando a fórmula da distância:
Como , sabemos que existem duas retas tangentes.

Passo 5

A inclinação das retas tangentes pode ser encontrada usando a fórmula da inclinação das retas tangentes a uma circunferência a partir de um ponto externo:
Onde e .

Passo 6

Vamos calcular a parte dentro da raiz:
Então, as inclinações são:
Calculando as duas possibilidades:

Passo 7

Agora que temos as inclinações das retas tangentes, podemos escrever as equações das retas na forma ponto-inclinação: .
Para :
Para :

Passo 8

Vamos simplificar as equações das retas.
Para a primeira reta:
Para a segunda reta:

Passo 9

Agora, vamos encontrar onde essas retas interceptam o eixo . Para isso, sabemos que no eixo , . Vamos substituir nas equações das retas e resolver para .
Para a primeira reta:
Para a segunda reta:

Resposta

As retas tangentes à circunferência que passam pelo ponto são:
E as intersecções dessas retas com o eixo são nos pontos e .

Exercícios relacionados

A reta de equação intercepta a circunferência de centro na origem e raio em dois pontos e , sendo que as coordenadas de são ambas positivas. Determine
a equação da reta s, perpendicular a , passando por .
Se as retas de equações e se interceptam no centro de uma circunferência de raio unitário, a equação dessa circunferência é:
No plano cartesiano, considere a reta de equação e a circunferência de equação . Podemos afirmar que
a) a reta passa pelo centro da circunferência.
b) a reta é tangente à circunferência.
c) a circunferência intercepta o eixo y em dois pontos cuja distância é 2 .
d) a circunferência intercepta o eixo em dois pontos cuja distância é 1.
e) a área do círculo determinado pela circunferência é 4 u.a…
Em , uma circunferência de centro no ponto é tangente à reta de equação . Se essa circunferência tem equação , o valor de é: