Dada a circunferência de equação
e o ponto
, obtenha as equações das retas tangentes à circunferência, passando por
e posteriormente encontre a intersecção dessas retas com o eixo x.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma circunferência com a equação
e um ponto
fora dessa circunferência. Nosso objetivo é encontrar as equações das retas tangentes a essa circunferência que passam por
e, depois, descobrir onde essas retas cortam o eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma reta tangente. Uma reta tangente a uma circunferência toca a circunferência em exatamente um ponto. Para encontrar essas retas, precisamos usar a condição de tangência, que relaciona a distância entre o ponto
e o centro da circunferência com o raio.
Passo 3
A circunferência
tem centro na origem
e raio
(já que
). O ponto
está fora da circunferência, pois a distância dele ao centro é maior que o raio.
Passo 4
Vamos calcular a distância entre
e o centro
usando a fórmula da distância:
Como
, sabemos que existem duas retas tangentes.
Passo 5
A inclinação das retas tangentes pode ser encontrada usando a fórmula da inclinação das retas tangentes a uma circunferência a partir de um ponto externo:
Onde
e
.
Passo 6
Vamos calcular a parte dentro da raiz:
Então, as inclinações são:
Calculando as duas possibilidades:
Passo 7
Agora que temos as inclinações das retas tangentes, podemos escrever as equações das retas na forma ponto-inclinação:
.
Para
:
Para
:
Passo 8
Vamos simplificar as equações das retas.
Para a primeira reta:
Para a segunda reta:
Passo 9
Agora, vamos encontrar onde essas retas interceptam o eixo
. Para isso, sabemos que no eixo
,
. Vamos substituir
nas equações das retas e resolver para
.
Para a primeira reta:
Para a segunda reta:
Resposta
As retas tangentes à circunferência que passam pelo ponto
são:
E as intersecções dessas retas com o eixo
são nos pontos
e
.
Exercícios relacionados
A reta
de equação
intercepta a circunferência de centro na origem e raio
em dois pontos
e
, sendo que as coordenadas de
são ambas positivas. Determine
a equação da reta s, perpendicular a , passando por
.
a equação da reta s, perpendicular a
Se as retas de equações
e
se interceptam no centro de uma circunferência de raio unitário, a equação dessa circunferência é:
No plano cartesiano, considere a reta de equação
e a circunferência de equação
. Podemos afirmar que
a) a reta passa pelo centro da circunferência.
b) a reta é tangente à circunferência.
c) a circunferência intercepta o eixo y em dois pontos cuja distância é 2 .
d) a circunferência intercepta o eixo em dois pontos cuja distância é 1.
e) a área do círculo determinado pela circunferência é 4 u.a…
a) a reta passa pelo centro da circunferência.
b) a reta é tangente à circunferência.
c) a circunferência intercepta o eixo y em dois pontos cuja distância é 2 .
d) a circunferência intercepta o eixo
e) a área do círculo determinado pela circunferência é 4 u.a…
Em
, uma circunferência de centro no ponto
é tangente à reta de equação
. Se essa circunferência tem equação
, o valor de
é: