Quais das seguintes aplicações são transformaçōes lineares? tal que , onde

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear perguntando se uma certa aplicação é uma transformação linear. A aplicação em questão é , definida por , onde é uma matriz fixa de tamanho . A gente vai precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se essa aplicação satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma aplicação entre dois espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , as seguintes duas propriedades são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Essas duas propriedades garantem que a transformação preserva as operações de adição e escala, fundamentais nos espaços vetoriais.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas propriedades à nossa transformação . Primeiro, vamos verificar a aditividade:
Sejam e duas matrizes em . Então,
Isso mostra que a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 4

Em seguida, vamos verificar a homogeneidade. Seja um escalar em e uma matriz em . Então,
Isso confirma que a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Passo 5

Dado que ambas as propriedades de aditividade e homogeneidade são satisfeitas, podemos concluir que a aplicação é uma transformação linear.

Resposta

A aplicação definida por é uma transformação linear.

Exercícios relacionados

Em , uma circunferência de centro no ponto é tangente à reta de equação . Se essa circunferência tem equação , o valor de é:
No plano cartesiano, considere a reta de equação e a circunferência de equação . Podemos afirmar que
a) a reta passa pelo centro da circunferência.
b) a reta é tangente à circunferência.
c) a circunferência intercepta o eixo y em dois pontos cuja distância é 2 .
d) a circunferência intercepta o eixo em dois pontos cuja distância é 1.
e) a área do círculo determinado pela circunferência é 4 u.a…
Considere o sistema
Note que podemos escrevê-lo na forma matricial
Traçar um esboço do gráfico e obter uma equaçâo cònica que satisfaça as condiçóes dadas. (d) Elipse: focos e eixo menor igual a 10