Quais das seguintes aplicações são transformaçōes lineares? (g) T7: Mn(R) Mn(R) tal que X mapsto T7(X)=B X, onde B in Mn(R)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear perguntando se uma certa aplicação é uma transformação linear. A aplicação em questão é T7: Mn(R) Mn(R), definida por T7(X) = B X, onde B é uma matriz fixa de tamanho n times n. A gente vai precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se essa aplicação satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma aplicação T: V W entre dois espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u, v in V e qualquer escalar c in R, as seguintes duas propriedades são verdadeiras:
  1. Aditividade: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Homogeneidade: T(cu) = cT(u)
Essas duas propriedades garantem que a transformação preserva as operações de adição e escala, fundamentais nos espaços vetoriais.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas propriedades à nossa transformação T7(X) = B X. Primeiro, vamos verificar a aditividade:
Sejam X e Y duas matrizes em Mn(R). Então,
T7(X + Y) = B(X + Y) = BX + BY = T7(X) + T7(Y)
Isso mostra que a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 4

Em seguida, vamos verificar a homogeneidade. Seja c um escalar em R e X uma matriz em Mn(R). Então,
T7(cX) = B(cX) = c(BX) = cT7(X)
Isso confirma que a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Passo 5

Dado que ambas as propriedades de aditividade e homogeneidade são satisfeitas, podemos concluir que a aplicação T7 é uma transformação linear.

Resposta

A aplicação T7: Mn(R) Mn(R) definida por T7(X) = B X é uma transformação linear.

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