Quais das seguintes aplicações são transformaçōes lineares? tal que , onde
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear perguntando se uma certa aplicação é uma transformação linear. A aplicação em questão é , definida por , onde é uma matriz fixa de tamanho . A gente vai precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se essa aplicação satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma aplicação entre dois espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , as seguintes duas propriedades são verdadeiras:
Aditividade:
Homogeneidade:
Essas duas propriedades garantem que a transformação preserva as operações de adição e escala, fundamentais nos espaços vetoriais.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essas propriedades à nossa transformação . Primeiro, vamos verificar a aditividade:
Sejam e duas matrizes em . Então,
Isso mostra que a propriedade de aditividade é satisfeita.
Passo 4
Em seguida, vamos verificar a homogeneidade. Seja um escalar em e uma matriz em . Então,
Isso confirma que a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.
Passo 5
Dado que ambas as propriedades de aditividade e homogeneidade são satisfeitas, podemos concluir que a aplicação é uma transformação linear.
Resposta
A aplicação definida por é uma transformação linear.