Numa circunferência de raio , traçam-se duas cordas paralelas, uma acima e outra abaixo do centro, e constroi-se um trapézio isósceles. Determine as distâncias das duas cordas ao centro para que a área do trapézio seja máxima (Dado: área do trapézio isósceles .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar as distâncias de duas cordas paralelas ao centro de uma circunferência de raio , de modo que a área de um trapézio isósceles formado por essas cordas seja máxima. Vamos precisar entender conceitos de geometria de círculos, propriedades de trapézios isósceles e otimização para maximizar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição das cordas. Como estão paralelas e uma está acima e a outra abaixo do centro, as distâncias delas ao centro serão simétricas. Vamos chamar a distância de uma corda ao centro de e, por simetria, a outra será .

Passo 3

Agora, vamos relacionar a distância com o comprimento das cordas. Em um círculo, o comprimento de uma corda em função da distância ao centro é dado por:
Então, se temos duas cordas a uma distância e do centro, ambas terão comprimento .

Passo 4

O próximo passo é expressar a área do trapézio em função de . A área de um trapézio é dada por:
Á
Aqui, e são os comprimentos das duas bases (as cordas), e é a altura do trapézio.

Passo 5

Como as cordas são simétricas em relação ao centro, a altura do trapézio será o dobro da distância de uma das cordas ao centro, ou seja, .
Substituindo os valores na fórmula da área:
Á

Passo 6

Agora, para encontrar a distância que maximiza a área, precisamos derivar a função da área em relação a e encontrar onde a derivada é zero.
Vamos chamar a área de . A derivada de em relação a é:
Igualando a derivada a zero:

Passo 7

Portanto, a distância máxima das cordas ao centro que maximiza a área do trapézio é:

Resposta

A distância das duas cordas ao centro que maximiza a área do trapézio é .

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