Numa circunferência de raio
, traçam-se duas cordas paralelas, uma acima e outra abaixo do centro, e constroi-se um trapézio isósceles. Determine as distâncias das duas cordas ao centro para que a área do trapézio seja máxima (Dado: área do trapézio isósceles
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar as distâncias de duas cordas paralelas ao centro de uma circunferência de raio
, de modo que a área de um trapézio isósceles formado por essas cordas seja máxima. Vamos precisar entender conceitos de geometria de círculos, propriedades de trapézios isósceles e otimização para maximizar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a posição das cordas. Como estão paralelas e uma está acima e a outra abaixo do centro, as distâncias delas ao centro serão simétricas. Vamos chamar a distância de uma corda ao centro de
e, por simetria, a outra será
.
Passo 3
Agora, vamos relacionar a distância
com o comprimento das cordas. Em um círculo, o comprimento de uma corda em função da distância ao centro é dado por:
Então, se temos duas cordas a uma distância
e
do centro, ambas terão comprimento
.
Passo 4
O próximo passo é expressar a área do trapézio em função de
. A área de um trapézio é dada por:
Aqui,
e
são os comprimentos das duas bases (as cordas), e
é a altura do trapézio.
Passo 5
Como as cordas são simétricas em relação ao centro, a altura
do trapézio será o dobro da distância de uma das cordas ao centro, ou seja,
.
Substituindo os valores na fórmula da área:
Passo 6
Agora, para encontrar a distância
que maximiza a área, precisamos derivar a função da área em relação a
e encontrar onde a derivada é zero.
Vamos chamar a área de
. A derivada de
em relação a
é:
Igualando a derivada a zero:
Passo 7
Portanto, a distância máxima
das cordas ao centro que maximiza a área do trapézio é:
Resposta
A distância das duas cordas ao centro que maximiza a área do trapézio é
.
Exercícios relacionados
Determine os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ções) dada(s).
Determine a equação do plano que passa pelo ponto
e determina com os planos coordenados um tetraedro de volume máximo (dado: equação do plano:
; volume do tetraedro
Base.altura).
Determine os valores máximo e mínimo, se existirem, da função
(a) Use o Teorema de Grenn para calcular a integral de linha
, onde
é a fronteira da região contida entre as circunferências
e
.