Determine a equação do plano que passa pelo ponto e determina com os planos coordenados um tetraedro de volume máximo (dado: equação do plano: ; volume do tetraedro Base.altura).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício pede. Precisamos encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e que, junto com os planos coordenados (os planos , e ), forma um tetraedro de volume máximo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre equações de planos e cálculo de volumes.
Passo 2
A equação geral do plano que vamos considerar é . Como o plano passa pelo ponto , basta substituir esses valores na equação para encontrar uma relação entre , e :
Passo 3
Agora, vamos determinar onde esse plano intercepta os eixos coordenados.
Intercepto com o eixo x: Para encontrar onde o plano corta o eixo , colocamos e na equação do plano:
Intercepto com o eixo y: Colocando e :
Intercepto com o eixo z: Colocando e :
Passo 4
O volume do tetraedro formado pelos interceptos com os eixos coordenados é dado por:
Queremos maximizar esse volume, o que implica minimizar o produto , já que é inversamente proporcional a esse produto.
Passo 5
Temos a restrição e queremos otimizar . Para isso, usamos a técnica de multiplicadores de Lagrange.
Ao resolver as equações resultantes, descobrimos que: