Determine a equação do plano que passa pelo ponto e determina com os planos coordenados um tetraedro de volume máximo (dado: equação do plano: ; volume do tetraedro Base.altura).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. Precisamos encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e que, junto com os planos coordenados (os planos , e ), forma um tetraedro de volume máximo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre equações de planos e cálculo de volumes.

Passo 2

A equação geral do plano que vamos considerar é . Como o plano passa pelo ponto , basta substituir esses valores na equação para encontrar uma relação entre , e :

Passo 3

Agora, vamos determinar onde esse plano intercepta os eixos coordenados.
  • Intercepto com o eixo x: Para encontrar onde o plano corta o eixo , colocamos e na equação do plano:
  • Intercepto com o eixo y: Colocando e :
  • Intercepto com o eixo z: Colocando e :

Passo 4

O volume do tetraedro formado pelos interceptos com os eixos coordenados é dado por:
Queremos maximizar esse volume, o que implica minimizar o produto , já que é inversamente proporcional a esse produto.

Passo 5

Temos a restrição e queremos otimizar . Para isso, usamos a técnica de multiplicadores de Lagrange.
Ao resolver as equações resultantes, descobrimos que:
Substituindo na restrição:
Então:

Resposta

A equação do plano é .

Exercícios relacionados

Encontre os máximos e mínimos absolutos das funções no conjunto :
é a região triangular no primeiro quadrante limitada pelas retas e .
Determine os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções:
Determine os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ções) dada(s).
Numa circunferência de raio , traçam-se duas cordas paralelas, uma acima e outra abaixo do centro, e constroi-se um trapézio isósceles. Determine as distâncias das duas cordas ao centro para que a área do trapézio seja máxima (Dado: área do trapézio isósceles .