Determine os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ções) dada(s).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os valores máximo e mínimo da função
com a condição que
. Isso se encaixa no conteúdo de otimização com restrições. Para resolver, vamos usar um método chamado Multiplicadores de Lagrange, que ajuda a encontrar extremos de funções com condições específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a nossa restrição como uma função. Vamos chamar de
. A ideia é encontrar onde o gradiente de
é paralelo ao gradiente de
. Isso significa que existe um número
(chamado de multiplicador de Lagrange) tal que:
Passo 3
Calculando os gradientes:
Então, a equação
fica:
Passo 4
Agora, vamos expressar
em função de
:
Com essas expressões, vamos substituir na restrição
:
Simplificando:
Passo 5
Com
, substituímos de volta para encontrar
:
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor da função
nesse ponto para encontrar o mínimo:
Quanto ao valor máximo, como
pode crescer indefinidamente se aumentarmos os valores de
mantendo a restrição
, não há um valor máximo finito para
.
Resposta
O valor mínimo da função é
e não existe valor máximo.
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:
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e
.
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.
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