Determine os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ções) dada(s).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os valores máximo e mínimo da função com a condição que . Isso se encaixa no conteúdo de otimização com restrições. Para resolver, vamos usar um método chamado Multiplicadores de Lagrange, que ajuda a encontrar extremos de funções com condições específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a nossa restrição como uma função. Vamos chamar de . A ideia é encontrar onde o gradiente de é paralelo ao gradiente de . Isso significa que existe um número (chamado de multiplicador de Lagrange) tal que:

Passo 3

Calculando os gradientes:
Então, a equação fica:

Passo 4

Agora, vamos expressar em função de :
Com essas expressões, vamos substituir na restrição :
Simplificando:

Passo 5

Com , substituímos de volta para encontrar :

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor da função nesse ponto para encontrar o mínimo:
Quanto ao valor máximo, como pode crescer indefinidamente se aumentarmos os valores de mantendo a restrição , não há um valor máximo finito para .

Resposta

O valor mínimo da função é e não existe valor máximo.

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