(a) Use o Teorema de Grenn para calcular a integral de linha , onde é a fronteira da região contida entre as circunferências e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado fala sobre integrar a função ao longo da fronteira , que é a região entre os círculos e . Para resolver isso, vamos precisar aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais de área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que, para uma curva fechada que delimita uma região , a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla sobre da seguinte forma:
No nosso caso, temos:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituindo na expressão do Teorema de Green:

Passo 4

Agora, temos que a integral original é igual a:
Como a região está entre os círculos e , é mais fácil calcular essa integral em coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, e .

Passo 5

Substituindo para coordenadas polares, temos:
Primeiro, resolvemos a integral em :

Passo 6

Agora, resolvemos a integral em :
Multiplicando tudo:

Resposta

Exercícios relacionados

Determine os valores máximo e mínimo, se existirem, da função
í
Numa circunferência de raio , traçam-se duas cordas paralelas, uma acima e outra abaixo do centro, e constroi-se um trapézio isósceles. Determine as distâncias das duas cordas ao centro para que a área do trapézio seja máxima (Dado: área do trapézio isósceles .
(a) Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial .
Esboce o campo vetorial desenhando os vetores em, pelo menos, dez pontos diferentes: .