(a) Use o Teorema de Grenn para calcular a integral de linha
, onde
é a fronteira da região contida entre as circunferências
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado fala sobre integrar a função
ao longo da fronteira
, que é a região entre os círculos
e
. Para resolver isso, vamos precisar aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais de área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que, para uma curva fechada
que delimita uma região
, a integral de linha
pode ser convertida em uma integral dupla sobre
da seguinte forma:
No nosso caso, temos:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, temos que a integral original é igual a:
Como a região
está entre os círculos
e
, é mais fácil calcular essa integral em coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares,
e
.
Passo 5
Substituindo para coordenadas polares, temos:
Primeiro, resolvemos a integral em
:
Passo 6
Agora, resolvemos a integral em
:
Multiplicando tudo:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine os valores máximo e mínimo, se existirem, da função
Numa circunferência de raio
, traçam-se duas cordas paralelas, uma acima e outra abaixo do centro, e constroi-se um trapézio isósceles. Determine as distâncias das duas cordas ao centro para que a área do trapézio seja máxima (Dado: área do trapézio isósceles
.
(a) Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial
.
Esboce o campo vetorial
desenhando os vetores em, pelo menos, dez pontos diferentes:
.