(a) Use o Teorema de Grenn para calcular a integral de linha integralC(x^3-y^3) d x+(x^3+y^3) d y, onde C é a fronteira da região contida entre as circunferências x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado fala sobre integrar a função ao longo da fronteira , que é a região entre os círculos e . Para resolver isso, vamos precisar aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais de área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que, para uma curva fechada ointC P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA que delimita uma região P = x^3 - y^3 e Q = x^3 + y^3 , a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla sobre da seguinte forma:
No nosso caso, temos:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x(x^3 + y^3) = 3x^2
partial Ppartial y = partialpartial y(x^3 - y^3) = -3y^2
Agora, substituindo na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 3x^2 - (-3y^2) = 3x^2 + 3y^2 = 3(x^2 + y^2)

Passo 4

Agora, temos que a integral original é igual a:
integral duplaD 3(x^2 + y^2) dA
Como a região está entre os círculos e , é mais fácil calcular essa integral em coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, e .

Passo 5

Substituindo para coordenadas polares, temos:
3 integral duplaD r^2 cdot r dr dtheta = 3 integral0^2pi integral1^3 r^3 dr dtheta
Primeiro, resolvemos a integral em integral1^3 r^3 dr = [ r^44 ]1^3 = 814 - 14 = 804 = 20 :

Passo 6

Agora, resolvemos a integral em integral0^2pi dtheta = 2pi :
3 times 20 times 2pi = 120pi
Multiplicando tudo:

Resposta

120pi

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