Determine os valores máximo e mínimo, se existirem, da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos os valores máximo e mínimo da função
sujeita às restrições
e
. Vamos precisar usar um pouco de álgebra e otimização com restrições para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o sistema de equações para encontrar relações entre
,
e
. Temos:
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:
Dessa forma, podemos expressar
em termos de
:
Passo 3
Agora, substituímos
na primeira equação para encontrar
:
Então, temos:
Passo 4
Agora que expressamos
e
em função de
, vamos substituir essas expressões na função
:
Vamos expandir cada termo:
Somando tudo:
Passo 5
Agora, temos uma função quadrática em
:
Sabemos que uma parábola
tem seu ponto de mínimo em
. Vamos calcular:
Passo 6
Substituindo
nas expressões de
e
:
Passo 7
Agora, calculamos o valor mínimo da função:
Passo 8
Como a função quadrática
tende ao infinito quando
vai para
ou
, não existe um valor máximo para
sob as restrições dadas.
Resposta
A função possui um valor mínimo de
no ponto
e não possui valor máximo.