Determine os valores máximo e mínimo, se existirem, da função
í

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos os valores máximo e mínimo da função sujeita às restrições e . Vamos precisar usar um pouco de álgebra e otimização com restrições para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema de equações para encontrar relações entre , e . Temos:
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:
Dessa forma, podemos expressar em termos de :

Passo 3

Agora, substituímos na primeira equação para encontrar :
Então, temos:

Passo 4

Agora que expressamos e em função de , vamos substituir essas expressões na função :
Vamos expandir cada termo:
Somando tudo:

Passo 5

Agora, temos uma função quadrática em :
Sabemos que uma parábola tem seu ponto de mínimo em . Vamos calcular:

Passo 6

Substituindo nas expressões de e :

Passo 7

Agora, calculamos o valor mínimo da função:

Passo 8

Como a função quadrática tende ao infinito quando vai para ou , não existe um valor máximo para sob as restrições dadas.

Resposta

A função possui um valor mínimo de no ponto e não possui valor máximo.

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