Uma circunferência de raio r>0 tem seu centro C=(x0, y0) no primeiro quadrante do plano, ou seja, que x0>0, y0>0. Determine as condições sobre os números x0, yo e r de modo que a circunferência:
g) intersecte o eixo-x em exatamente um ponto e não intersecte o eixo-y.
R a) r

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre circunferências no plano cartesiano! A gente tem uma circunferência com raio e centro no ponto , que está no primeiro quadrante, ou seja, e . Queremos encontrar as condições para que essa circunferência:
  • Intersecte o eixo-x em exatamente um ponto.
  • Não intersecte o eixo-y.
Para isso, vamos precisar usar a equação da circunferência e entender como ela interage com os eixos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação geral de uma circunferência com centro em (x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2 e raio :
Essa equação descreve todos os pontos que estão a uma distância de .

Passo 3

Para descobrir onde a circunferência intersecta o eixo-x, vamos substituir (x - x0)^2 + (0 - y0)^2 = r^2 (x - x0)^2 + y0^2 = r^2 na equação da circunferência, já que o eixo-x é onde (x - x0)^2 = r^2 - y0^2 :
r^2 - y0^2 >= 0 r >= y0
Agora, resolvemos para (x - x0)^2 = 0 x = x0 :
Para que haja soluções reais, o lado direito precisa ser maior ou igual a zero:
Se , temos:
Ou seja, a circunferência toca o eixo-x exatamente em um ponto .

Passo 4

Agora, vamos verificar a interseção com o eixo-y. Para isso, substituímos (0 - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2 x0^2 + (y - y0)^2 = r^2 na equação da circunferência:
(y - y0)^2 = r^2 - x0^2
Resolvendo para r^2 - x0^2 >= 0 r >= x0 :
Para que haja soluções reais, o lado direito precisa ser maior ou igual a zero:
Se , não há pontos reais de interseção com o eixo-y.

Passo 5

Resumindo as condições:
  • Para intersectar o eixo-x em exatamente um ponto, precisamos que .
  • Para não intersectar o eixo-y, precisamos que .

Resposta

As condições são y0 = r < x0 e . Ou seja:

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