Uma circunferência de raio
tem seu centro
no primeiro quadrante do plano, ou seja, que
. Determine as condições sobre os números
e
de modo que a circunferência:
g) intersecte o eixo-x em exatamente um ponto e não intersecte o eixo-y.
g) intersecte o eixo-x em exatamente um ponto e não intersecte o eixo-y.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre circunferências no plano cartesiano! A gente tem uma circunferência com raio
e centro no ponto
, que está no primeiro quadrante, ou seja,
e
. Queremos encontrar as condições para que essa circunferência:
- Intersecte o eixo-x em exatamente um ponto.
- Não intersecte o eixo-y.
Para isso, vamos precisar usar a equação da circunferência e entender como ela interage com os eixos coordenados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação geral de uma circunferência com centro em
e raio
:
Essa equação descreve todos os pontos
que estão a uma distância
de
.
Passo 3
Para descobrir onde a circunferência intersecta o eixo-x, vamos substituir
na equação da circunferência, já que o eixo-x é onde
:
Agora, resolvemos para
:
Para que haja soluções reais, o lado direito precisa ser maior ou igual a zero:
Se
, temos:
Ou seja, a circunferência toca o eixo-x exatamente em um ponto
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a interseção com o eixo-y. Para isso, substituímos
na equação da circunferência:
Resolvendo para
:
Para que haja soluções reais, o lado direito precisa ser maior ou igual a zero:
Se
, não há pontos reais de interseção com o eixo-y.
Passo 5
Resumindo as condições:
- Para intersectar o eixo-x em exatamente um ponto, precisamos que
. - Para não intersectar o eixo-y, precisamos que
.
Resposta
As condições são
e
. Ou seja: