Determine a equação da elipse que passa por
e
, sabendo que seus eixos são paralelos aos eixos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação da elipse que passa por quatro pontos específicos:
,
,
e
. Além disso, sabemos que os eixos da elipse estão alinhados com os eixos coordenados. Para resolver isso, vamos usar a teoria das elipses e montar um sistema de equações para achar os parâmetros da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a forma padrão da equação de uma elipse com os eixos paralelos aos coordenados:
Aqui,
é o centro da elipse, e
e
são os comprimentos dos semi-eixos maior e menor, respectivamente. Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
,
e
.
Passo 3
Vamos usar os pontos dados para montar equações. Substituindo cada ponto na equação da elipse, teremos quatro equações:
- Para o ponto
:
- Para o ponto
:
- Para o ponto
:
- Para o ponto
:
Passo 4
Agora, vamos analisar essas equações para encontrar
e
. Observando os pontos, notamos que os pontos
e
têm o mesmo valor de
, o que sugere que o centro da elipse está na média desses pontos.
Calculando a média das coordenadas
:
E a média das coordenadas
:
Então, o centro da elipse é
.
Passo 5
Com
e
, substituímos na equação padrão:
Agora, precisamos encontrar os valores de
e
. Vamos usar os pontos restantes para isso. Vamos usar o ponto
:
Agora, usamos o ponto
:
Resposta
A equação da elipse é