Determine a equação da elipse que passa por (1,3),(-1,4),(0,3-raiz32) e (-3,3), sabendo que seus eixos são paralelos aos eixos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação da elipse que passa por quatro pontos específicos: (1,3), (-1,4), (0,3-raiz32) e (-3,3). Além disso, sabemos que os eixos da elipse estão alinhados com os eixos coordenados. Para resolver isso, vamos usar a teoria das elipses e montar um sistema de equações para achar os parâmetros da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma padrão da equação de uma elipse com os eixos paralelos aos coordenados:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Aqui, (h, k) é o centro da elipse, e a e b são os comprimentos dos semi-eixos maior e menor, respectivamente. Nosso objetivo é encontrar os valores de h, k, a e b.

Passo 3

Vamos usar os pontos dados para montar equações. Substituindo cada ponto na equação da elipse, teremos quatro equações:
  1. Para o ponto (1,3):
(1 - h)^2a^2 + (3 - k)^2b^2 = 1
  1. Para o ponto (-1,4):
(-1 - h)^2a^2 + (4 - k)^2b^2 = 1
  1. Para o ponto (0,3-raiz32):
(0 - h)^2a^2 + (3 - raiz32 - k)^2b^2 = 1
  1. Para o ponto (-3,3):
(-3 - h)^2a^2 + (3 - k)^2b^2 = 1

Passo 4

Agora, vamos analisar essas equações para encontrar h e k. Observando os pontos, notamos que os pontos (-3,3) e (1,3) têm o mesmo valor de y, o que sugere que o centro da elipse está na média desses pontos.
Calculando a média das coordenadas x:
h = -3 + 12 = -22 = -1
E a média das coordenadas y:
k = 3 + 32 = 3
Então, o centro da elipse é (-1, 3).

Passo 5

Com h = -1 e k = 3, substituímos na equação padrão:
(x + 1)^2a^2 + (y - 3)^2b^2 = 1
Agora, precisamos encontrar os valores de a e b. Vamos usar os pontos restantes para isso. Vamos usar o ponto (-1,4):
(-1 + 1)^2a^2 + (4 - 3)^2b^2 = 1
0 + 1b^2 = 1 Rightarrow b^2 = 1 Rightarrow b = 1
Agora, usamos o ponto (0,3 - raiz32):
(0 + 1)^2a^2 + (3 - raiz32 - 3)^21 = 1
1a^2 + (-raiz32)^2 = 1
1a^2 + 34 = 1
1a^2 = 14 Rightarrow a^2 = 4 Rightarrow a = 2

Resposta

A equação da elipse é
(x + 1)^24 + (y - 3)^21 = 1

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