Determine os valores reais de a e de b para que as retas r: a x+(2-b) y-23=0 e s:(a-1) x+b y+15=0 passem pelo ponto P=(2,-3).
R: a=4 e b=7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de e que fazem com que as duas retas dadas passem pelo ponto . Isso envolve entender um pouquinho de álgebra, especialmente sobre equações de retas e substituição de valores.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a primeira reta: a cdot 2 + (2 - b) cdot (-3) - 23 = 0 . Como o ponto está nessa reta, substituímos por 2 e por -3 na equação:

Passo 3

Vamos simplificar essa equação:
2a + (-3)(2 - b) - 23 = 0 2a - 6 + 3b - 23 = 0 2a + 3b - 29 = 0
Então, temos a primeira equação:
2a + 3b = 29 (Equação 1) çã

Passo 4

Agora, vamos para a segunda reta: (a - 1) cdot 2 + b cdot (-3) + 15 = 0 . Substituindo e :

Passo 5

Simplificando essa equação:
2(a - 1) - 3b + 15 = 0 2a - 2 - 3b + 15 = 0 2a - 3b + 13 = 0
Então, temos a segunda equação:
2a - 3b = -13 (Equação 2) çã

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
2a + 3b = 29 (Equação 1) 2a - 3b = -13 (Equação 2) çãçã
Para resolver, podemos somar as duas equações para eliminar o (2a + 3b) + (2a - 3b) = 29 + (-13) 4a = 16 a = 4 :

Passo 7

Com o valor de 2(4) + 3b = 29 8 + 3b = 29 3b = 21 b = 7 , vamos substituir na Equação 1 para encontrar :

Resposta

Os valores são e .

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