Determinar equação da circunferência que passa pelo ponto P=(7,-5), cujo centro é a intersecção das retas r: 7 x-9 y-10=0 e s: 2 x-5 y+2=0 R:(x-4)^2+(y-2)^2=58.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma circunferência que passa pelo ponto e cujo centro está na interseção das retas e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como encontrar a interseção de duas retas e a fórmula da circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da circunferência. O centro é o ponto onde as retas e se encontram. Para achar esse ponto, precisamos resolver o sistema de equações formado por e .

Passo 3

Vamos resolver o sistema:
7x - 9y = 10 2x - 5y = -2
Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vou optar pela eliminação.

Passo 4

Multiplicando a segunda equação por 3.5 para igualar os coeficientes de 3.5 times (2x - 5y) = 3.5 times (-2) 7x - 17.5y = -7 :
7x - 9y = 10 7x - 17.5y = -7
Agora temos:

Passo 5

Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar (7x - 17.5y) - (7x - 9y) = -7 - 10 -8.5y = -17 y = -17-8.5 = 2 :
Então, .

Passo 6

Substituindo 2x - 5(2) = -2 2x - 10 = -2 2x = 8 x = 4 em uma das equações originais para encontrar . Vamos usar a segunda equação:
Portanto, o centro da circunferência é .

Passo 7

Agora que sabemos o centro r = raiz(7 - 4)^2 + (-5 - 2)^2 = raiz3^2 + (-7)^2 = raiz9 + 49 = raiz58 e que a circunferência passa pelo ponto , podemos calcular o raio usando a distância entre esses dois pontos:

Passo 8

Com o centro (x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 58 e o raio , a equação da circunferência fica:

Resposta

A equação da circunferência é .

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