Determine se as equações abaixo representam uma elipse ou uma elipse degenerada. Caso seja uma elipse, determine seus principais elementos.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar se a equação
representa uma elipse ou uma elipse degenerada. Se for uma elipse, também precisamos encontrar seus principais elementos. Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica, como completar o quadrado e identificar o tipo de conicante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação agrupando os termos de
e de
:
Aqui, a gente colocou os termos de
e
de um lado e deixou o número do outro lado da igualdade.
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Isso vai nos ajudar a colocar a equação na forma padrão da elipse.
Primeiro, fatoramos o 4 que está multiplicando o
:
Para completar o quadrado dentro do parênteses, pegamos o coeficiente de
, que é -2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro do parênteses:
Isso simplifica para:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para isolar os termos quadráticos:
Dividimos todos os termos por 36 para deixar a equação na forma padrão da elipse:
Simplificando as frações:
Passo 5
Pronto! Agora a equação está na forma padrão da elipse:
Comparando com a nossa equação:
Vemos que:
- Centro
é -
então -
então
Resposta
A equação
representa uma elipse com centro no ponto
, eixo maior de comprimento 6 (ao longo do eixo
) e eixo menor de comprimento 4 (ao longo do eixo
).