Determine se as equações abaixo representam uma elipse ou uma elipse degenerada. Caso seja uma elipse, determine seus principais elementos.
d) 9 x^2+4 y^2-8 y-32=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar se a equação representa uma elipse ou uma elipse degenerada. Se for uma elipse, também precisamos encontrar seus principais elementos. Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica, como completar o quadrado e identificar o tipo de conicante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação agrupando os termos de 9x^2 + 4y^2 - 8y = 32 e de :
Aqui, a gente colocou os termos de e de um lado e deixou o número do outro lado da igualdade.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 4(y^2 - 2y) = 32 - 9x^2. Isso vai nos ajudar a colocar a equação na forma padrão da elipse.
Primeiro, fatoramos o 4 que está multiplicando o (-22)^2 = 1 :
4(y^2 - 2y + 1 - 1) = 32 - 9x^2
Para completar o quadrado dentro do parênteses, pegamos o coeficiente de 4(y - 1)^2 - 4 = 32 - 9x^2, que é -2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro do parênteses:
Isso simplifica para:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para isolar os termos quadráticos:
9x^2 + 4(y - 1)^2 = 36
Dividimos todos os termos por 36 para deixar a equação na forma padrão da elipse:
9x^236 + 4(y - 1)^236 = 1
Simplificando as frações:
x^24 + (y - 1)^29 = 1

Passo 5

Pronto! Agora a equação está na forma padrão da elipse:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Comparando com a nossa equação:
x^24 + (y - 1)^29 = 1
Vemos que:
  • Centro é
  • então
  • então

Resposta

A equação representa uma elipse com centro no ponto , eixo maior de comprimento 6 (ao longo do eixo ) e eixo menor de comprimento 4 (ao longo do eixo ).

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