Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade. Confira os resultados com o Teorema de Rouché-Capelli. Faça o escalonamento passo a passo.
d) lx+y+z=4 2 x+5 y-2 z=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo! A gente tem duas equações com três incógnitas:
x + y + z = 4 2x + 5y - 2z = 3
Vamos usar álgebra linear, especificamente matrizes ampliadas e escalonamento para achar a solução. Precisamos montar a matriz ampliada, reduzir ela à forma escada, encontrar os postos das matrizes, e verificar se o sistema é possível e determinar o grau de liberdade se for.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz ampliada do sistema. A matriz ampliada inclui os coeficientes das incógnitas e as constantes das equações:
1 & 1 & 1 & | & 4 2 & 5 & -2 & | & 3

Passo 3

Agora, vamos começar a escalonar a matriz para deixá-la em forma escada. O objetivo é ter zeros abaixo dos pivôs (números que formam a diagonal principal).
Primeiro, usamos a primeira linha para eliminar o coeficiente de 1 & 1 & 1 & | & 4 2 & 5 & -2 & | & 3 na segunda linha. Para isso, multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da segunda linha:
2 & 2 & 2 & | & 8
Multiplicando a primeira linha por 2:
2 & 5 & -2 & | & 3 - & - & - & | & -
Subtraindo essa linha da segunda linha:
0 & 3 & -4 & | & -5
1 & 1 & 1 & | & 4 0 & 3 & -4 & | & -5
Então, a nova matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos deixar o coeficiente de 1 & 1 & 1 & | & 4 0 & 1 & -43 & | & -53 igual a 1 na segunda linha. Para isso, dividimos a segunda linha por 3:

Passo 5

Com o 1 & 1 & 1 & | & 4 0 & 1 & -43 & | & -53 já arrumado, vamos eliminar o coeficiente de 1 & 0 & 73 & | & 173 na primeira linha. Subtraímos a segunda linha da primeira:
1 & 0 & 73 & | & 173 0 & 1 & -43 & | & -53
Subtraindo:
Então, a matriz fica:

Passo 6

Agora, temos a matriz em forma escada. Vamos identificar os postos:
  • Matriz dos coeficientes (sem a coluna das constantes):
1 & 0 & 73 0 & 1 & -43
O posto dessa matriz é 2, pois temos 2 linhas não nulas.
  • Matriz ampliada:
1 & 0 & 73 & | & 173 0 & 1 & -43 & | & -53
O posto também é 2.

Passo 7

Segundo o Teorema de Rouché-Capelli, se o posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da matriz ampliada, o sistema é possível. Além disso, como temos 3 incógnitas e o posto é 2, o grau de liberdade é . Isso significa que temos uma solução com um parâmetro livre.

Passo 8

Vamos expressar as soluções em termos de um parâmetro. Vamos deixar y - 43z = -53 , onde y - 43t = -53 implies y = 43t - 53 é um número real qualquer.
A partir da segunda equação escalonada:
x + 73z = 173
Substituindo x + 73t = 173 implies x = -73t + 173 :
Da primeira equação escalonada:
Substituindo :

Resposta

As soluções do sistema são dadas por:
x = -73t + 173 y = 43t - 53 z = t
onde é um número real qualquer. O sistema é possível e possui grau de liberdade 1.

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