Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade. Confira os resultados com o Teorema de Rouché-Capelli. Faça o escalonamento passo a passo.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo! A gente tem duas equações com três incógnitas:
Vamos usar álgebra linear, especificamente matrizes ampliadas e escalonamento para achar a solução. Precisamos montar a matriz ampliada, reduzir ela à forma escada, encontrar os postos das matrizes, e verificar se o sistema é possível e determinar o grau de liberdade se for.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz ampliada do sistema. A matriz ampliada inclui os coeficientes das incógnitas e as constantes das equações:
Passo 3
Agora, vamos começar a escalonar a matriz para deixá-la em forma escada. O objetivo é ter zeros abaixo dos pivôs (números que formam a diagonal principal).
Primeiro, usamos a primeira linha para eliminar o coeficiente de na segunda linha. Para isso, multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da segunda linha:
Multiplicando a primeira linha por 2:
Subtraindo essa linha da segunda linha:
Então, a nova matriz fica:
Passo 4
Agora, vamos deixar o coeficiente de igual a 1 na segunda linha. Para isso, dividimos a segunda linha por 3:
Passo 5
Com o já arrumado, vamos eliminar o coeficiente de na primeira linha. Subtraímos a segunda linha da primeira:
Subtraindo:
Então, a matriz fica:
Passo 6
Agora, temos a matriz em forma escada. Vamos identificar os postos:
Matriz dos coeficientes (sem a coluna das constantes):
O posto dessa matriz é 2, pois temos 2 linhas não nulas.
Matriz ampliada:
O posto também é 2.
Passo 7
Segundo o Teorema de Rouché-Capelli, se o posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da matriz ampliada, o sistema é possível. Além disso, como temos 3 incógnitas e o posto é 2, o grau de liberdade é . Isso significa que temos uma solução com um parâmetro livre.
Passo 8
Vamos expressar as soluções em termos de um parâmetro. Vamos deixar , onde é um número real qualquer.
A partir da segunda equação escalonada:
Substituindo :
Da primeira equação escalonada:
Substituindo :
Resposta
As soluções do sistema são dadas por:
onde é um número real qualquer. O sistema é possível e possui grau de liberdade 1.