Uma circunferência de raio r>0 tem seu centro C=(x0, y0) no primeiro quadrante do plano, ou seja, que x0>0, y0>0. Determine as condições sobre os números x0, yo e r de modo que a circunferência:
f) intersecte o eixo-x em dois pontos e o eixo-y em um ponto;
f) y0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma circunferência com raio r > 0 e centro no ponto C = (x0, y0), que está no primeiro quadrante, ou seja, x0 > 0 e y0 > 0. O que a gente precisa descobrir são as condições sobre esses números x0, y0 e r para que a circunferência interseccione o eixo x em dois pontos e o eixo y em apenas um ponto. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação geral de uma circunferência no plano:
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2
Essa equação representa todos os pontos (x, y) que estão a uma distância r do centro C.

Passo 3

Vamos ver como a circunferência intercepta o eixo x. Para isso, substituímos y = 0 na equação da circunferência:
(x - x0)^2 + y0^2 = r^2
Resolvendo para x:
(x - x0)^2 = r^2 - y0^2
Para que essa equação tenha duas soluções reais (isto é, a circunferência intersecte o eixo x em dois pontos), precisamos que o lado direito seja positivo:
r^2 - y0^2 > 0 Rightarrow r > y0

Passo 4

Agora, vamos analisar a interseção com o eixo y. Substituímos x = 0 na equação da circunferência:
x0^2 + (y - y0)^2 = r^2
Resolvendo para y:
(y - y0)^2 = r^2 - x0^2
Para que haja apenas um ponto de interseção com o eixo y, a equação deve ter exatamente uma solução real. Isso acontece quando o lado direito é igual a zero:
r^2 - x0^2 = 0 Rightarrow r = x0

Passo 5

Resumindo, para que a circunferência interseccione o eixo x em dois pontos e o eixo y em apenas um ponto, as condições são:
  1. r > y0 (para garantir duas interseções com o eixo x)
  2. r = x0 (para garantir uma única interseção com o eixo y)

Resposta

y0 < r = x0

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