Uma circunferência de raio
tem seu centro
no primeiro quadrante do plano, ou seja, que
. Determine as condições sobre os números
e
de modo que a circunferência:
f) intersecte o eixo-x em dois pontos e o eixo-y em um ponto;
f) intersecte o eixo-x em dois pontos e o eixo-y em um ponto;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma circunferência com raio
e centro no ponto
, que está no primeiro quadrante, ou seja,
e
. O que a gente precisa descobrir são as condições sobre esses números
,
e
para que a circunferência interseccione o eixo
em dois pontos e o eixo
em apenas um ponto. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação geral de uma circunferência no plano:
Essa equação representa todos os pontos
que estão a uma distância
do centro
.
Passo 3
Vamos ver como a circunferência intercepta o eixo
. Para isso, substituímos
na equação da circunferência:
Resolvendo para
:
Para que essa equação tenha duas soluções reais (isto é, a circunferência intersecte o eixo
em dois pontos), precisamos que o lado direito seja positivo:
Passo 4
Agora, vamos analisar a interseção com o eixo
. Substituímos
na equação da circunferência:
Resolvendo para
:
Para que haja apenas um ponto de interseção com o eixo
, a equação deve ter exatamente uma solução real. Isso acontece quando o lado direito é igual a zero:
Passo 5
Resumindo, para que a circunferência interseccione o eixo
em dois pontos e o eixo
em apenas um ponto, as condições são:
-
(para garantir duas interseções com o eixo ) -
(para garantir uma única interseção com o eixo )