Uma circunferência de raio tem seu centro no primeiro quadrante do plano, ou seja, que . Determine as condições sobre os números e de modo que a circunferência:
f) intersecte o eixo-x em dois pontos e o eixo-y em um ponto;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma circunferência com raio e centro no ponto , que está no primeiro quadrante, ou seja, e . O que a gente precisa descobrir são as condições sobre esses números , e para que a circunferência interseccione o eixo em dois pontos e o eixo em apenas um ponto. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação geral de uma circunferência no plano:
Essa equação representa todos os pontos que estão a uma distância do centro .
Passo 3
Vamos ver como a circunferência intercepta o eixo . Para isso, substituímos na equação da circunferência:
Resolvendo para :
Para que essa equação tenha duas soluções reais (isto é, a circunferência intersecte o eixo em dois pontos), precisamos que o lado direito seja positivo:
Passo 4
Agora, vamos analisar a interseção com o eixo . Substituímos na equação da circunferência:
Resolvendo para :
Para que haja apenas um ponto de interseção com o eixo , a equação deve ter exatamente uma solução real. Isso acontece quando o lado direito é igual a zero:
Passo 5
Resumindo, para que a circunferência interseccione o eixo em dois pontos e o eixo em apenas um ponto, as condições são: