Considere as matrizes:
Calcule:
(a)
A B^t
(b)
B B^t
©
A(B+B^t)
(d)
A(B-B^t)
(e)
A B-A B^t
(f)
A^2-B^2(B^t)^2
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes juntos! A gente vai trabalhar com duas matrizes, a matriz
e a matriz
, que estão dadas no enunciado. O conteúdo que vamos usar aqui é o de operações com matrizes, como multiplicação, transposição, soma e subtração de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes, como encontrar a transposta de uma matriz e como realizar operações básicas de soma e subtração entre elas.
Passo 2
Parte (a): Calcular
B = 1 & 0 & -1 -1 & 0 & 1 -2 & 0 & 1
Primeiro, vamos entender o que significa
B^t = 1 & -1 & -2 0 & 0 & 0 -1 & 1 & 1 . A
A = 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 é a transposta da matriz
AB^t = (1)(1) + (2)(0) + (3)(-1) & (1)(-1) + (2)(0) + (3)(1) & (1)(-2) + (2)(0) + (3)(1) (4)(1) + (5)(0) + (6)(-1) & (4)(-1) + (5)(0) + (6)(1) & (4)(-2) + (5)(0) + (6)(1) (7)(1) + (8)(0) + (9)(-1) & (7)(-1) + (8)(0) + (9)(1) & (7)(-2) + (8)(0) + (9)(1) , ou seja, trocamos as linhas pelas colunas. Vamos calcular
AB^t = 1 + 0 - 3 & -1 + 0 + 3 & -2 + 0 + 3 4 + 0 - 6 & -4 + 0 + 6 & -8 + 0 + 6 7 + 0 - 9 & -7 + 0 + 9 & -14 + 0 + 9 e depois multiplicar pela matriz
AB^t = -2 & 2 & 1 -2 & 2 & -2 -2 & 2 & -5 .
Matriz
:
Transposta de
,
:
Agora, vamos multiplicar
por
. A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda e somando os resultados.
Matriz
:
Calculando
:
Passo 3
Parte (b): Calcular
B^t = 1 & -1 & -2 0 & 0 & 0 -1 & 1 & 1
Vamos encontrar a transposta de
B = 1 & 0 & -1 -1 & 0 & 1 -2 & 0 & 1 novamente, que já calculamos como
BB^t = (1)(1) + (0)(0) + (-1)(-1) & (1)(-1) + (0)(0) + (-1)(1) & (1)(-2) + (0)(0) + (-1)(1) (-1)(1) + (0)(0) + (1)(-1) & (-1)(-1) + (0)(0) + (1)(1) & (-1)(-2) + (0)(0) + (1)(1) (-2)(1) + (0)(0) + (1)(-1) & (-2)(-1) + (0)(0) + (1)(1) & (-2)(-2) + (0)(0) + (1)(1) :
Agora, multiplicamos
BB^t = 2 & -2 & -3 -2 & 2 & 3 -3 & 3 & 5 por
:
Matriz
:
Calculando
:
Passo 4
Parte ©: Calcular
B = 1 & 0 & -1 -1 & 0 & 1 -2 & 0 & 1
Primeiro, vamos calcular a soma de
B^t = 1 & -1 & -2 0 & 0 & 0 -1 & 1 & 1 e
B + B^t = 1+1 & 0+(-1) & -1+(-2) -1+0 & 0+0 & 1+0 -2+(-1) & 0+1 & 1+1 :
Matriz
B + B^t = 2 & -1 & -3 -1 & 0 & 1 -3 & 1 & 2 :
Transposta de
A(B + B^t) = 1(2) + 2(-1) + 3(-3) & 1(-1) + 2(0) + 3(1) & 1(-3) + 2(1) + 3(2) 4(2) + 5(-1) + 6(-3) & 4(-1) + 5(0) + 6(1) & 4(-3) + 5(1) + 6(2) 7(2) + 8(-1) + 9(-3) & 7(-1) + 8(0) + 9(1) & 7(-3) + 8(1) + 9(2) ,
A(B + B^t) = 2 -2 -9 & -1 +0 +3 & -3 +2 +6 8 -5 -18 & -4 +0 +6 & -12 +5 +12 14 -8 -27 & -7 +0 +9 & -21 +8 +18 :
Somando
:
Agora, multiplicamos
por
:
Matriz
:
Calculando
:
Passo 5
Parte (d): Calcular
B = 1 & 0 & -1 -1 & 0 & 1 -2 & 0 & 1
Primeiro, vamos calcular a subtração de
B^t = 1 & -1 & -2 0 & 0 & 0 -1 & 1 & 1 e
B - B^t = 1-1 & 0-(-1) & -1-(-2) -1-0 & 0-0 & 1-0 -2-(-1) & 0-1 & 1-1 :
Matriz
B - B^t = 0 & 1 & 1 -1 & 0 & 1 -1 & -1 & 0 :
Transposta de
A(B - B^t) = 1(0) + 2(-1) + 3(-1) & 1(1) + 2(0) + 3(-1) & 1(1) + 2(1) + 3(0) 4(0) + 5(-1) + 6(-1) & 4(1) + 5(0) + 6(-1) & 4(1) + 5(1) + 6(0) 7(0) + 8(-1) + 9(-1) & 7(1) + 8(0) + 9(-1) & 7(1) + 8(1) + 9(0) ,
A(B - B^t) = 0 -2 -3 & 1 +0 -3 & 1 +2 +0 0 -5 -6 & 4 +0 -6 & 4 +5 +0 0 -8 -9 & 7 +0 -9 & 7 +8 +0 :
Subtraindo
:
Agora, multiplicamos
por
:
Matriz
:
Calculando
:
Passo 6
Parte (e): Calcular
A = 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9
Primeiro, já calculamos
B = 1 & 0 & -1 -1 & 0 & 1 -2 & 0 & 1 na parte (a). Agora, precisamos calcular
AB = 1(1) + 2(-1) + 3(-2) & 1(0) + 2(0) + 3(0) & 1(-1) + 2(1) + 3(1) 4(1) + 5(-1) + 6(-2) & 4(0) + 5(0) + 6(0) & 4(-1) + 5(1) + 6(1) 7(1) + 8(-1) + 9(-2) & 7(0) + 8(0) + 9(0) & 7(-1) + 8(1) + 9(1) .
Matriz
AB = 1 -2 -6 & 0 +0 +0 & -1 +2 +3 4 -5 -12 & 0 +0 +0 & -4 +5 +6 7 -8 -18 & 0 +0 +0 & -7 +8 +9 :
Matriz
AB^t = -2 & 2 & 1 -2 & 2 & -2 -2 & 2 & -5 :
Calculando
AB - AB^t = -5 & -2 & 3 -11 & -2 & 9 -17 & -2 & 15 :
Já na parte (a), encontramos:
Agora, subtraímos
de
:
Passo 7
Parte (f): Calcular
A = 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9
Vamos calcular cada parte separadamente e depois fazer a subtração.
Primeiro, calcular
A^2 = A cdot A = 1(1) + 2(4) + 3(7) & 1(2) + 2(5) + 3(8) & 1(3) + 2(6) + 3(9) 4(1) + 5(4) + 6(7) & 4(2) + 5(5) + 6(8) & 4(3) + 5(6) + 6(9) 7(1) + 8(4) + 9(7) & 7(2) + 8(5) + 9(8) & 7(3) + 8(6) + 9(9) , que é
A^2 = 1 + 8 + 21 & 2 + 10 + 24 & 3 + 12 + 27 4 + 20 + 42 & 8 + 25 + 48 & 12 + 30 + 54 7 + 32 + 63 & 14 + 40 + 72 & 21 + 48 + 81 multiplicada por
A^2 = 30 & 36 & 42 66 & 81 & 96 102 & 126 & 150 :
Calculando
B^2 = B cdot B = 1(1) + 0(-1) + (-1)(-2) & 1(0) + 0(0) + (-1)(0) & 1(-1) + 0(1) + (-1)(1) -1(1) + 0(-1) + 1(-2) & -1(0) + 0(0) + 1(0) & -1(-1) + 0(1) + 1(1) -2(1) + 0(-1) + 1(-2) & -2(0) + 0(0) + 1(0) & -2(-1) + 0(1) + 1(1) :
Agora, calcular
(B^t)^2 = B^t cdot B^t = 1(1) + (-1)(0) + (-2)(-1) & 1(-1) + (-1)(0) + (-2)(1) & 1(-2) + (-1)(0) + (-2)(1) 0(1) + 0(0) + 0(-1) & 0(-1) + 0(0) + 0(1) & 0(-2) + 0(0) + 0(1) -1(1) + 1(0) + 1(-1) & -1(-1) + 1(0) + 1(1) & -1(-2) + 1(0) + 1(1) :
Calculando
(B^t)^2 = 3 & -3 & -4 0 & 0 & 0 -2 & 2 & 3 :
Agora, calcular
B^2(B^t)^2 = 9 +0 +4 & -9 +0 -4 & -12 +0 -6 -9 +0 -4 & 9 +0 +4 & 12 +0 +6 -12 +0 -6 & 12 +0 +6 & 16 +0 +9 :
Calculando
A^2 - B^2(B^t)^2 = 30 -13 & 36 - (-13) & 42 - (-18) 66 - (-13) & 81 -13 & 96 -18 102 - (-18) & 126 -18 & 150 -25 :
Agora, multiplicamos
por
:
Calculando
:
Finalmente, subtraímos
de
:
Resposta
(a)
-2 & 2 & 1 -2 & 2 & -2 -2 & 2 & -5
(b)
2 & -2 & -3 -2 & 2 & 3 -3 & 3 & 5
©
-9 & 2 & 5 -15 & 2 & 5 -21 & 2 & 5
(d)
-5 & -2 & 3 -11 & -2 & 9 -17 & -2 & 15
(e)
-5 & -2 & 3 -11 & -2 & 9 -17 & -2 & 15
(f)
17 & 49 & 60 79 & 68 & 78 120 & 108 & 125