Considere a matriz , onde . O determinante da matriz vale:
a).
b).
c).
d). 30
e). 0
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma matriz de ordem 4 que depende de . Nosso objetivo é encontrar o determinante dessa matriz. Para isso, vamos precisar saber como calcular determinantes de matrizes maiores e usar algumas técnicas para simplificar o processo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz direitinho:
Calcular o determinante de uma matriz 4x4 pode parecer complicado, mas vamos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores para facilitar.
Passo 3
Vamos usar a expansão por cofatores na primeira linha, pois ela tem um zero, o que simplifica um pouco os cálculos. A fórmula para o determinante via cofatores na primeira linha é:
Onde são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.
Passo 4
Vamos calcular cada termo:
Primeiro termo ():
O cofator é o determinante da matriz que sobra retirando a 1ª linha e a 1ª coluna:
Calculando esse determinante:
Então:
Segundo termo ():
O cofator é o determinante da matriz que sobra retirando a 1ª linha e a 2ª coluna:
Calculando esse determinante:
Então:
Terceiro termo ():
O cofator é o determinante da matriz que sobra retirando a 1ª linha e a 3ª coluna:
Calculando esse determinante:
Então:
Quarto termo ():
Como está multiplicando por zero, esse termo vai dar zero.
Passo 5
Agora, somando todos os termos:
Resposta
O determinante da matriz é . Portanto, a alternativa correta é a c) .