Considere a matriz , onde . O determinante da matriz vale:
a).
b).
c).
d). 30
e). 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma matriz de ordem 4 que depende de . Nosso objetivo é encontrar o determinante dessa matriz. Para isso, vamos precisar saber como calcular determinantes de matrizes maiores e usar algumas técnicas para simplificar o processo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz direitinho:
Calcular o determinante de uma matriz 4x4 pode parecer complicado, mas vamos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores para facilitar.

Passo 3

Vamos usar a expansão por cofatores na primeira linha, pois ela tem um zero, o que simplifica um pouco os cálculos. A fórmula para o determinante via cofatores na primeira linha é:
Onde são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.

Passo 4

Vamos calcular cada termo:
  1. Primeiro termo ( ):
    O cofator é o determinante da matriz que sobra retirando a 1ª linha e a 1ª coluna:
    Calculando esse determinante:
    Então:
  2. Segundo termo ( ):
    O cofator é o determinante da matriz que sobra retirando a 1ª linha e a 2ª coluna:
    Calculando esse determinante:
    Então:
  3. Terceiro termo ( ):
    O cofator é o determinante da matriz que sobra retirando a 1ª linha e a 3ª coluna:
    Calculando esse determinante:
    Então:
  4. Quarto termo ( ):
    Como está multiplicando por zero, esse termo vai dar zero.

Passo 5

Agora, somando todos os termos:

Resposta

O determinante da matriz é . Portanto, a alternativa correta é a c) .

Exercícios relacionados

Considere as matrizes:
Calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Uma circunferência de raio tem seu centro no primeiro quadrante do plano, ou seja, que . Determine as condições sobre os números e de modo que a circunferência:
f) intersecte o eixo-x em dois pontos e o eixo-y em um ponto;
Defina a hipérbole e deduza a fórmula reduzida da hipérbole de centro .
Considere as matrizes:
Calcule e de tal modo que: .
Resposta: e .