Considere a matriz A=[rrrr-1 & 2 & 3 & 0 2 & x & -1 & 2 0 & 4 & 0 & 2 1 & 1 & 0 & x], onde x in R. O determinante da matriz A vale:
a). 6-4 x
b). x^2+12
c). 26 x-30
d). 30
e). 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma matriz de ordem 4 que depende de . Nosso objetivo é encontrar o determinante dessa matriz. Para isso, vamos precisar saber como calcular determinantes de matrizes maiores e usar algumas técnicas para simplificar o processo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = -1 & 2 & 3 & 0 2 & x & -1 & 2 0 & 4 & 0 & 2 1 & 1 & 0 & x direitinho:
Calcular o determinante de uma matriz 4x4 pode parecer complicado, mas vamos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores para facilitar.

Passo 3

Vamos usar a expansão por cofatores na primeira linha, pois ela tem um zero, o que simplifica um pouco os cálculos. A fórmula para o determinante via cofatores na primeira linha é:
det(A) = a11 cdot C11 - a12 cdot C12 + a13 cdot C13 - a14 cdot C14
Onde são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.

Passo 4

Vamos calcular cada termo:
  1. Primeiro termo ( a11 = -1 ):
    x & -1 & 2 4 & 0 & 2 1 & 0 & x
    O cofator x cdot 0 & 2 0 & x - (-1) cdot 4 & 2 1 & x + 2 cdot 4 & 0 1 & 0 é o determinante da matriz que sobra retirando a 1ª linha e a 1ª coluna:
    = x(0 cdot x - 2 cdot 0) + 1(4x - 2) + 2(0 - 0) = 4x - 2
    Calculando esse determinante:
    a11 cdot C11 = -1 cdot (4x - 2) = -4x + 2
    a12 = 2
    Então:
    2 & -1 & 2 0 & 0 & 2 1 & 0 & x
  2. Segundo termo ( 2 cdot 0 & 2 0 & x - (-1) cdot 0 & 2 1 & x + 2 cdot 0 & 0 1 & 0 ):
    = 2(0 cdot x - 2 cdot 0) + 1(0 cdot x - 2 cdot 1) + 2(0 - 0) = -2
    O cofator -a12 cdot C12 = -2 cdot (-2) = 4 é o determinante da matriz que sobra retirando a 1ª linha e a 2ª coluna:
    a13 = 3
    Calculando esse determinante:
    2 & x & 2 0 & 4 & 2 1 & 1 & x
    2 cdot 4 & 2 1 & x - x cdot 0 & 2 1 & x + 2 cdot 0 & 4 1 & 1
    Então:
    = 2(4x - 2) - x(0 cdot x - 2 cdot 1) + 2(0 cdot 1 - 4 cdot 1) = 8x - 4 + 2x - 8 = 10x - 12
  3. Terceiro termo ( a13 cdot C13 = 3 cdot (10x - 12) = 30x - 36 ):
    a14 = 0
    O cofator é o determinante da matriz que sobra retirando a 1ª linha e a 3ª coluna:
    Calculando esse determinante:
    Então:
  4. Quarto termo ( ):
    Como está multiplicando por zero, esse termo vai dar zero.

Passo 5

Agora, somando todos os termos:
det(A) = (-4x + 2) + 4 + (30x - 36) + 0 = (-4x + 30x) + (2 + 4 - 36) = 26x - 30

Resposta

O determinante da matriz é . Portanto, a alternativa correta é a c) .

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