Uma circunferência de raio tem seu centro no primeiro quadrante do plano, ou seja, que . Determine as condições sobre os números e de modo que a circunferência:
c) intersecte o eixo-y em exatamente um ponto;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma circunferência com raio e centro no ponto que está todo no primeiro quadrante (ou seja, e ). A missão aqui é descobrir quais condições , e precisam satisfazer para que essa circunferência intersecte o eixo em exatamente um ponto. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma circunferência no plano:
Agora, queremos ver onde essa circunferência cruza o eixo . O eixo é onde . Então, vamos substituir na equação da circunferência:
Agora, para encontrar os pontos de interseção, precisamos resolver essa equação para .
Passo 3
Vamos isolar :
Para que a circunferência intercepte o eixo , o lado direito da equação precisa ser maior ou igual a zero, ou seja:
Se , teremos dois pontos de interseção (a circunferência corta o eixo em dois lugares). Mas a gente quer exatamente um ponto de interseção, o que acontece quando a circunferência é tangente ao eixo . Isso ocorre quando .
Passo 4
Então, a condição para que a circunferência intercepte o eixo em exatamente um ponto é:
Resposta
A circunferência intersecta o eixo em exatamente um ponto quando .