Uma circunferência de raio
tem seu centro
no primeiro quadrante do plano, ou seja, que
. Determine as condições sobre os números
e
de modo que a circunferência:
c) intersecte o eixo-y em exatamente um ponto;
c) intersecte o eixo-y em exatamente um ponto;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma circunferência com raio
e centro no ponto
que está todo no primeiro quadrante (ou seja,
e
). A missão aqui é descobrir quais condições
,
e
precisam satisfazer para que essa circunferência intersecte o eixo
em exatamente um ponto. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma circunferência no plano:
Agora, queremos ver onde essa circunferência cruza o eixo
. O eixo
é onde
. Então, vamos substituir
na equação da circunferência:
Agora, para encontrar os pontos de interseção, precisamos resolver essa equação para
.
Passo 3
Vamos isolar
:
Para que a circunferência intercepte o eixo
, o lado direito da equação precisa ser maior ou igual a zero, ou seja:
Se
, teremos dois pontos de interseção (a circunferência corta o eixo
em dois lugares). Mas a gente quer exatamente um ponto de interseção, o que acontece quando a circunferência é tangente ao eixo
. Isso ocorre quando
.
Passo 4
Então, a condição para que a circunferência intercepte o eixo
em exatamente um ponto é:
Resposta
A circunferência intersecta o eixo
em exatamente um ponto quando
.