Uma circunferência de raio tem seu centro no primeiro quadrante do plano, ou seja, que . Determine as condições sobre os números e de modo que a circunferência:
c) intersecte o eixo-y em exatamente um ponto;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma circunferência com raio e centro no ponto que está todo no primeiro quadrante (ou seja, e ). A missão aqui é descobrir quais condições , e precisam satisfazer para que essa circunferência intersecte o eixo em exatamente um ponto. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma circunferência no plano:
Agora, queremos ver onde essa circunferência cruza o eixo . O eixo é onde . Então, vamos substituir na equação da circunferência:
Agora, para encontrar os pontos de interseção, precisamos resolver essa equação para .

Passo 3

Vamos isolar :
Para que a circunferência intercepte o eixo , o lado direito da equação precisa ser maior ou igual a zero, ou seja:
Se , teremos dois pontos de interseção (a circunferência corta o eixo em dois lugares). Mas a gente quer exatamente um ponto de interseção, o que acontece quando a circunferência é tangente ao eixo . Isso ocorre quando .

Passo 4

Então, a condição para que a circunferência intercepte o eixo em exatamente um ponto é:

Resposta

A circunferência intersecta o eixo em exatamente um ponto quando .

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Determine uma equação para a elipse que satisfaz as condições dadas:
(b) , centro na origem e foco sobre o eixo .
Determine uma equação para a elipse que satisfaz as condições dadas:
(a) O comprimento do eixo maior 26 e focos e ;
Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade. Confira os resultados com o Teorema de Rouché-Capelli. Faça o escalonamento passo a passo.
а)
Para quais valores de , o sistema tem
c) nenhuma solução;