Uma circunferência de raio r>0 tem seu centro C=(x0, y0) no primeiro quadrante do plano, ou seja, que x0>0, y0>0. Determine as condições sobre os números x0, yo e r de modo que a circunferência:
c) intersecte o eixo-y em exatamente um ponto;
R a) r

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma circunferência com raio e centro no ponto que está todo no primeiro quadrante (ou seja, e ). A missão aqui é descobrir quais condições , e precisam satisfazer para que essa circunferência intersecte o eixo em exatamente um ponto. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma circunferência no plano:
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2
Agora, queremos ver onde essa circunferência cruza o eixo (0 - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2 Rightarrow x0^2 + (y - y0)^2 = r^2 . O eixo é onde . Então, vamos substituir na equação da circunferência:
Agora, para encontrar os pontos de interseção, precisamos resolver essa equação para .

Passo 3

Vamos isolar (y - y0)^2 = r^2 - x0^2 :
r^2 - x0^2 >= 0 Rightarrow r^2 >= x0^2 Rightarrow r >= x0
Para que a circunferência intercepte o eixo , o lado direito da equação precisa ser maior ou igual a zero, ou seja:
Se , teremos dois pontos de interseção (a circunferência corta o eixo em dois lugares). Mas a gente quer exatamente um ponto de interseção, o que acontece quando a circunferência é tangente ao eixo . Isso ocorre quando .

Passo 4

Então, a condição para que a circunferência intercepte o eixo x0 = r em exatamente um ponto é:

Resposta

A circunferência intersecta o eixo em exatamente um ponto quando .

Exercícios relacionados