Determine uma equação para a elipse que satisfaz as condições dadas:
(a) O comprimento do eixo maior 26 e focos (5,0) e (-5,0);

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre elipses. A gente precisa encontrar a equação da elipse que tem o eixo maior medindo 26 unidades e os focos nas posições (5,0) e (-5,0). Pra isso, vamos lembrar de algumas fórmulas básicas de elipses.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o comprimento do eixo maior. O enunciado disse que o eixo maior tem 26 unidades. Como o eixo maior é 2a (onde a é o semi-eixo maior), podemos encontrar a dividindo por 2:
2a = 26 implies a = 13

Passo 3

Agora, vamos identificar a distância dos focos até o centro da elipse. Sabemos que os focos estão em (5,0) e (-5,0), então a distância c do centro (que é a origem, (0,0)) até cada foco é 5 unidades:
c = 5

Passo 4

Com os valores de a e c em mãos, podemos encontrar o semi-eixo menor b usando a fórmula:
b = raiza^2 - c^2
Substituindo os valores:
b = raiz13^2 - 5^2 = raiz169 - 25 = raiz144 = 12

Passo 5

Agora que temos a = 13 e b = 12, podemos escrever a equação padrão da elipse centrada na origem:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Substituindo a e b:
x^2169 + y^2144 = 1

Resposta

A equação da elipse é:
x^2169 + y^2144 = 1

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