Determine uma equação para a elipse que satisfaz as condições dadas:
(b)
, centro na origem e foco sobre o eixo
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que tem algumas características específicas: o centro está na origem, um dos focos está no eixo y, o valor de
é
e o valor de
é 4. Para isso, vamos usar a teoria das elipses.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão de uma elipse centrada na origem com eixo maior no eixo y é:
Aqui,
é o semi-eixo maior (no eixo y) e
é o semi-eixo menor (no eixo x).
Passo 3
Sabemos que
. Então, já temos o valor de
:
Passo 4
Também sabemos que a distância do centro aos focos é
. A relação entre
,
e
em uma elipse é:
Vamos usar essa fórmula para encontrar
.
Passo 5
Substituindo os valores que temos na equação:
Agora, vamos resolver para
:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos montar a equação da elipse substituindo esses valores na fórmula padrão:
Resposta
A equação da elipse é: