Determine uma equação para a elipse que satisfaz as condições dadas:
(b) c=raiz3, a=4, centro na origem e foco sobre o eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que tem algumas características específicas: o centro está na origem, um dos focos está no eixo y, o valor de é e o valor de é 4. Para isso, vamos usar a teoria das elipses.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão de uma elipse centrada na origem com eixo maior no eixo y é:
x^2b^2 + y^2a^2 = 1
Aqui, é o semi-eixo maior (no eixo y) e é o semi-eixo menor (no eixo x).

Passo 3

Sabemos que a^2 = 4^2 = 16 . Então, já temos o valor de :

Passo 4

Também sabemos que a distância do centro aos focos é c^2 = a^2 - b^2 . A relação entre , e em uma elipse é:
Vamos usar essa fórmula para encontrar .

Passo 5

Substituindo os valores que temos na equação:
(raiz3)^2 = 4^2 - b^2 3 = 16 - b^2
Agora, vamos resolver para b^2 = 16 - 3 b^2 = 13 :

Passo 6

Agora que temos x^213 + y^216 = 1 e , podemos montar a equação da elipse substituindo esses valores na fórmula padrão:

Resposta

A equação da elipse é:
x^213 + y^216 = 1

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