Para quais valores de , o sistema tem
c) nenhuma solução;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um sistema de equações com duas incógnitas e . A pergunta é: para quais valores de esse sistema não tem nenhuma solução. Vamos usar conceitos de álgebra linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “não ter nenhuma solução”. Em um sistema de equações lineares, isso acontece quando as duas equações representam retas paralelas que nunca se encontram. Para que isso aconteça, as retas devem ter o mesmo coeficiente angular (inclinação) mas diferentes termos constantes.
Passo 3
Vamos reescrever as equações na forma , onde é o coeficiente angular e é o termo constante.
Para a primeira equação :
Aqui, o coeficiente angular é e o termo constante é 0.
Para a segunda equação :
Aqui, o coeficiente angular é e o termo constante é 0.
Passo 4
Para as retas serem paralelas, os coeficientes angulares devem ser iguais. Então, igualamos os coeficientes angulares das duas equações:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de que fazem as retas paralelas.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por para eliminar a fração:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Passo 6
Agora, vamos rearranjar a equação para a forma padrão de uma equação quadrática:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .
Passo 7
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática :
Aqui, , e .
Calculando o discriminante ():
Passo 8
Agora, calculamos os valores de :
Isso nos dá duas soluções:
Resposta
Os valores de que fazem o sistema não ter nenhuma solução são e .