Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade. Confira os resultados com o Teorema de Rouché-Capelli. Faça o escalonamento passo a passo.
а)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O que temos aqui é um sistema linear com quatro equações e três incógnitas ( , e ). Vamos usar o método de escalonamento para transformar a matriz ampliada em uma forma mais simples, chamada de forma escada. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre matrizes e operações de linha, mas vou explicar cada passo direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz ampliada do sistema. A matriz ampliada inclui os coeficientes das incógnitas e os termos constantes das equações. Para o nosso sistema, fica assim:

Passo 3

Agora, vamos começar o escalonamento. O primeiro objetivo é ter um 1 na posição da primeira linha e primeira coluna. Para isso, podemos dividir a primeira linha por 2:

Passo 4

Em seguida, queremos eliminar os números abaixo desse 1 na primeira coluna. Vamos fazer isso:
  • Linha 2: Subtrair 4 vezes a Linha 1 da Linha 2.
  • Linha 3: Subtrair a Linha 1 da Linha 3.
  • Linha 4: Subtrair 3 vezes a Linha 1 da Linha 4.
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos um 1 na posição da segunda linha e segunda coluna. Podemos multiplicar a Linha 2 por -1:

Passo 6

Vamos eliminar os números acima e abaixo desse 1 na segunda coluna:
  • Linha 1: Adicionar 0.5 vezes a Linha 2 à Linha 1.
  • Linha 3: Subtrair 1.5 vezes a Linha 2 da Linha 3.
  • Linha 4: Subtrair 2.5 vezes a Linha 2 da Linha 4.
Depois dessas operações, a matriz fica:

Passo 7

Agora, vamos para a terceira coluna. Queremos um 1 na posição da terceira linha e terceira coluna. Podemos dividir a Linha 3 por -7:

Passo 8

Por último, vamos eliminar os números acima e abaixo desse 1 na terceira coluna:
  • Linha 1: Subtrair 3.5 vezes a Linha 3 da Linha 1.
  • Linha 2: Subtrair 4 vezes a Linha 3 da Linha 2.
  • Linha 4: Adicionar 14.5 vezes a Linha 3 à Linha 4.
Após essas operações, a matriz fica na forma escada reduzida:

Passo 9

Agora que temos a matriz na forma escada, podemos identificar os postos das matrizes:
  • Matriz dos coeficientes (sem a última coluna):
    O posto dessa matriz é 3.
  • Matriz ampliada:
    O posto dessa matriz também é 3.

Passo 10

De acordo com o Teorema de Rouché-Capelli, se os postos da matriz dos coeficientes e da matriz ampliada são iguais, o sistema é possível e determinado. Além disso, como o número de variáveis ( ) é igual ao posto ( ), o grau de liberdade é 0 (ou seja, existe uma única solução).

Resposta

A solução do sistema é:
O sistema é possível e determinado, com um único conjunto de soluções.

Exercícios relacionados

Uma circunferência de raio tem seu centro no primeiro quadrante do plano, ou seja, que . Determine as condições sobre os números e de modo que a circunferência:
c) intersecte o eixo-y em exatamente um ponto;
Determine uma equação para a elipse que satisfaz as condições dadas:
(b) , centro na origem e foco sobre o eixo .
Para quais valores de , o sistema tem
c) nenhuma solução;
Considere que:
Usando escalonamento, determine e .
Respostas:
(a)
(b)