Uma circunferência de raio r>0 tem seu centro C=(x0, y0) no primeiro quadrante do plano, ou seja, que x0>0, y0>0. Determine as condições sobre os números x0, yo e r de modo que a circunferência:
b) intersecte o eixo-x em exatamente um ponto;
R a) r

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma circunferência com raio e centro no ponto no primeiro quadrante do plano cartesiano, ou seja, e . O que precisamos descobrir é quais condições os números , e devem satisfazer para que essa circunferência intersecte o eixo-x em exatamente um ponto. Isso significa que a circunferência toca o eixo-x apenas em um único ponto, sem cortá-lo.

Passo 2

Para entender isso, vamos lembrar da equação geral de uma circunferência:
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2
Queremos encontrar os pontos de interseção dessa circunferência com o eixo-x. No eixo-x, a coordenada (x - x0)^2 + (0 - y0)^2 = r^2 é sempre zero. Então, vamos substituir (x - x0)^2 + y0^2 = r^2 na equação da circunferência:
Simplificando:

Passo 3

Agora, para que a circunferência intersecte o eixo-x em exatamente um ponto, essa equação deve ter uma única solução para (x - x0)^2 = r^2 - y0^2 . Isso acontece quando o discriminante da equação quadrática resultante for igual a zero. Vamos reorganizar a equação:
r^2 - y0^2 >= 0 Rightarrow r >= y0
Para ter solução real, o lado direito da equação deve ser não negativo:
r^2 - y0^2 = 0 Rightarrow y0 = r
Além disso, para ter exatamente um ponto de interseção, o valor de deve ser igual a zero:

Resposta

Para que a circunferência intersecte o eixo-x em exatamente um ponto, a condição necessária é .

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