Uma circunferência de raio tem seu centro no primeiro quadrante do plano, ou seja, que . Determine as condições sobre os números e de modo que a circunferência:
b) intersecte o eixo-x em exatamente um ponto;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma circunferência com raio e centro no ponto no primeiro quadrante do plano cartesiano, ou seja, e . O que precisamos descobrir é quais condições os números , e devem satisfazer para que essa circunferência intersecte o eixo-x em exatamente um ponto. Isso significa que a circunferência toca o eixo-x apenas em um único ponto, sem cortá-lo.

Passo 2

Para entender isso, vamos lembrar da equação geral de uma circunferência:
Queremos encontrar os pontos de interseção dessa circunferência com o eixo-x. No eixo-x, a coordenada é sempre zero. Então, vamos substituir na equação da circunferência:
Simplificando:

Passo 3

Agora, para que a circunferência intersecte o eixo-x em exatamente um ponto, essa equação deve ter uma única solução para . Isso acontece quando o discriminante da equação quadrática resultante for igual a zero. Vamos reorganizar a equação:
Para ter solução real, o lado direito da equação deve ser não negativo:
Além disso, para ter exatamente um ponto de interseção, o valor de deve ser igual a zero:

Resposta

Para que a circunferência intersecte o eixo-x em exatamente um ponto, a condição necessária é .

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Determine a equação da parábola que satisfaz as condições dadas:
(b) Foco e diretriz .
Considere que:
Usando escalonamento, determine e .
Respostas:
(a)
(b)
Nas hipérboles abaixo, indique os focos, os vértices e as assíntotas. Esboce os seus respectivos gráficos.
(b)
Considere as matrizes:
Verifique que