Uma circunferência de raio tem seu centro no primeiro quadrante do plano, ou seja, que . Determine as condições sobre os números e de modo que a circunferência:
b) intersecte o eixo-x em exatamente um ponto;
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma circunferência com raio e centro no ponto no primeiro quadrante do plano cartesiano, ou seja, e . O que precisamos descobrir é quais condições os números , e devem satisfazer para que essa circunferência intersecte o eixo-x em exatamente um ponto. Isso significa que a circunferência toca o eixo-x apenas em um único ponto, sem cortá-lo.
Passo 2
Para entender isso, vamos lembrar da equação geral de uma circunferência:
Queremos encontrar os pontos de interseção dessa circunferência com o eixo-x. No eixo-x, a coordenada é sempre zero. Então, vamos substituir na equação da circunferência:
Simplificando:
Passo 3
Agora, para que a circunferência intersecte o eixo-x em exatamente um ponto, essa equação deve ter uma única solução para . Isso acontece quando o discriminante da equação quadrática resultante for igual a zero. Vamos reorganizar a equação:
Para ter solução real, o lado direito da equação deve ser não negativo:
Além disso, para ter exatamente um ponto de interseção, o valor de deve ser igual a zero:
Resposta
Para que a circunferência intersecte o eixo-x em exatamente um ponto, a condição necessária é .