Considere que:
A^-1=[rrr -40 & 16 & 9 13 & -5 & -3 5 & -2 & -1 ] e B^-1=[rrr 0 & -1 & 1 -1 & 0 & 1 1 & 1 & -1 ]
Usando escalonamento, determine A e B.
Respostas:
(a) A=[lll1 & 2 & 3 2 & 5 & 3 1 & 0 & 8]
(b) [lll1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 1]

Passo 1

Então, pessoal, o que a gente tem aqui é um exercício de álgebra linear. A gente tem as matrizes inversas de duas matrizes, e , e precisa descobrir quais são as matrizes originais e . Para resolver isso, vamos usar o método de escalonamento, que é uma técnica para encontrar a inversa de uma matriz por meio de operações elementares nas linhas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a inversa de uma matriz é a matriz que, quando multiplicada por , resulta na matriz identidade. Ou seja, . Portanto, se queremos encontrar , precisamos encontrar a inversa de , já que .

Passo 3

Para encontrar , vamos inverter a matriz usando o método de escalonamento. Esse método envolve escrever ao lado da matriz identidade e realizar operações nas linhas até transformar na matriz identidade. As mesmas operações aplicadas ao outro lado transformarão a matriz identidade na inversa de , que é .

Passo 4

Vamos escrever a matriz aumentada [ccc|ccc -40 & 16 & 9 & 1 & 0 & 0 13 & -5 & -3 & 0 & 1 & 0 5 & -2 & -1 & 0 & 0 & 1 ] :
Agora, vamos realizar operações para transformar a parte à esquerda na matriz identidade.

Passo 5

Primeiro, vamos simplificar a primeira linha dividindo todos os elementos por -40:
[ccc|ccc 1 & -0.4 & -0.225 & -0.025 & 0 & 0 13 & -5 & -3 & 0 & 1 & 0 5 & -2 & -1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 6

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (1 na posição (1,1)). Para isso, subtraímos 13 vezes a primeira linha da segunda linha e 5 vezes a primeira linha da terceira linha:
[ccc|ccc 1 & -0.4 & -0.225 & -0.025 & 0 & 0 0 & 0.2 & -0.0375 & 0.325 & 1 & 0 0 & 0 & 0.125 & 0.125 & 0 & 1 ]

Passo 7

Em seguida, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os elementos por 0.2:
[ccc|ccc 1 & -0.4 & -0.225 & -0.025 & 0 & 0 0 & 1 & -0.1875 & 1.625 & 5 & 0 0 & 0 & 0.125 & 0.125 & 0 & 1 ]

Passo 8

Agora, vamos zerar o elemento acima do segundo pivô (1 na posição (2,2)) na primeira linha. Para isso, adicionamos 0.4 vezes a segunda linha à primeira linha:
[ccc|ccc 1 & 0 & -0.3 & 0.6 & 2 & 0 0 & 1 & -0.1875 & 1.625 & 5 & 0 0 & 0 & 0.125 & 0.125 & 0 & 1 ]

Passo 9

Por fim, vamos simplificar a terceira linha dividindo todos os elementos por 0.125:
[ccc|ccc 1 & 0 & -0.3 & 0.6 & 2 & 0 0 & 1 & -0.1875 & 1.625 & 5 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 8 ]
Agora, a parte à esquerda é a matriz identidade, então a parte à direita é a matriz :

Resposta

(a)
A = [lll 1 & 2 & 3 2 & 5 & 3 1 & 0 & 8 ]
(b)
B = [lll 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 1 ]

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