Usando escalonamento, determine e .
Respostas:
(a)
(b)
Passo 1
Então, pessoal, o que a gente tem aqui é um exercício de álgebra linear. A gente tem as matrizes inversas de duas matrizes, e , e precisa descobrir quais são as matrizes originais e . Para resolver isso, vamos usar o método de escalonamento, que é uma técnica para encontrar a inversa de uma matriz por meio de operações elementares nas linhas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a inversa de uma matriz é a matriz que, quando multiplicada por , resulta na matriz identidade. Ou seja, . Portanto, se queremos encontrar , precisamos encontrar a inversa de , já que .
Passo 3
Para encontrar , vamos inverter a matriz usando o método de escalonamento. Esse método envolve escrever ao lado da matriz identidade e realizar operações nas linhas até transformar na matriz identidade. As mesmas operações aplicadas ao outro lado transformarão a matriz identidade na inversa de , que é .
Passo 4
Vamos escrever a matriz aumentada :
Agora, vamos realizar operações para transformar a parte à esquerda na matriz identidade.
Passo 5
Primeiro, vamos simplificar a primeira linha dividindo todos os elementos por -40:
Passo 6
Agora, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (1 na posição (1,1)). Para isso, subtraímos 13 vezes a primeira linha da segunda linha e 5 vezes a primeira linha da terceira linha:
Passo 7
Em seguida, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os elementos por 0.2:
Passo 8
Agora, vamos zerar o elemento acima do segundo pivô (1 na posição (2,2)) na primeira linha. Para isso, adicionamos 0.4 vezes a segunda linha à primeira linha:
Passo 9
Por fim, vamos simplificar a terceira linha dividindo todos os elementos por 0.125:
Agora, a parte à esquerda é a matriz identidade, então a parte à direita é a matriz :