Determine a equação da parábola que satisfaz as condições dadas:
(b) Foco e diretriz .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a equação de uma parábola que tem como foco o ponto e como diretriz a reta . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados a parábolas, especificamente a definição que relaciona o foco e a diretriz.

Passo 2

Primeiramente, é importante entender o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de pontos que estão equidistantes de um ponto fixo, chamado de foco, e de uma reta fixa, chamada de diretriz. Isso significa que, para qualquer ponto na parábola, a distância até o foco será igual à distância até a diretriz.

Passo 3

Vamos denotar um ponto qualquer na parábola por . A distância desse ponto ao foco pode ser calculada usando a fórmula da distância entre dois pontos:
â
A diretriz é a reta . A distância de um ponto a essa reta é a distância horizontal até , já que a diretriz é vertical. Essa distância é dada por:
âà

Passo 4

De acordo com a definição da parábola, essas duas distâncias são iguais. Portanto, podemos escrever a equação:
Para eliminar a raiz e o valor absoluto, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Agora, expandimos os quadrados:
Simplificando, cancelamos dos dois lados e agrupamos os termos:
Juntando os termos semelhantes:
Subtraindo 25 de ambos os lados:

Passo 5

Podemos organizar a equação de forma padrão para uma parábola vertical:
Completando o quadrado para os termos de :
Isolando :
Finalmente, escrevemos a equação da parábola na forma padrão:

Resposta

A equação da parábola é:

Exercícios relacionados

Considere que:
Usando escalonamento, determine e .
Respostas:
(a)
(b)
Para quais valores de , o sistema tem
c) nenhuma solução;
Uma circunferência de raio tem seu centro no primeiro quadrante do plano, ou seja, que . Determine as condições sobre os números e de modo que a circunferência:
b) intersecte o eixo-x em exatamente um ponto;
Nas hipérboles abaixo, indique os focos, os vértices e as assíntotas. Esboce os seus respectivos gráficos.
(b)