Determine a equação da parábola que satisfaz as condições dadas:
(b) Foco (-1,4) e diretriz x=5.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a equação de uma parábola que tem como foco o ponto (-1, 4) e como diretriz a reta x = 5. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados a parábolas, especificamente a definição que relaciona o foco e a diretriz.

Passo 2

Primeiramente, é importante entender o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de pontos que estão equidistantes de um ponto fixo, chamado de foco, e de uma reta fixa, chamada de diretriz. Isso significa que, para qualquer ponto (x, y) na parábola, a distância até o foco será igual à distância até a diretriz.

Passo 3

Vamos denotar um ponto qualquer na parábola por (x, y). A distância desse ponto ao foco (-1, 4) pode ser calculada usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Distância ao foco = raiz(x - (-1))^2 + (y - 4)^2 = raiz(x + 1)^2 + (y - 4)^2 â
A diretriz é a reta x = 5. A distância de um ponto (x, y) a essa reta é a distância horizontal até x = 5, já que a diretriz é vertical. Essa distância é dada por:
Distância à diretriz = |x - 5| âà

Passo 4

De acordo com a definição da parábola, essas duas distâncias são iguais. Portanto, podemos escrever a equação:
raiz(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = |x - 5|
Para eliminar a raiz e o valor absoluto, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = (x - 5)^2
Agora, expandimos os quadrados:
x^2 + 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = x^2 - 10x + 25
Simplificando, cancelamos x^2 dos dois lados e agrupamos os termos:
2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = -10x + 25
Juntando os termos semelhantes:
2x + 10x + y^2 - 8y + 17 = 25
12x + y^2 - 8y + 17 = 25
Subtraindo 25 de ambos os lados:
12x + y^2 - 8y - 8 = 0

Passo 5

Podemos organizar a equação de forma padrão para uma parábola vertical:
y^2 - 8y + 12x - 8 = 0
Completando o quadrado para os termos de y:
(y^2 - 8y + 16) + 12x - 8 - 16 = 0
(y - 4)^2 + 12x - 24 = 0
Isolando (y - 4)^2:
(y - 4)^2 = -12x + 24
Finalmente, escrevemos a equação da parábola na forma padrão:
(y - 4)^2 = -12(x - 2)

Resposta

A equação da parábola é:
(y - 4)^2 = -12(x - 2)

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