Determine a equação da parábola que satisfaz as condições dadas:
(b) Foco e diretriz .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a equação de uma parábola que tem como foco o ponto e como diretriz a reta . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados a parábolas, especificamente a definição que relaciona o foco e a diretriz.
Passo 2
Primeiramente, é importante entender o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de pontos que estão equidistantes de um ponto fixo, chamado de foco, e de uma reta fixa, chamada de diretriz. Isso significa que, para qualquer ponto na parábola, a distância até o foco será igual à distância até a diretriz.
Passo 3
Vamos denotar um ponto qualquer na parábola por . A distância desse ponto ao foco pode ser calculada usando a fórmula da distância entre dois pontos:
A diretriz é a reta . A distância de um ponto a essa reta é a distância horizontal até , já que a diretriz é vertical. Essa distância é dada por:
Passo 4
De acordo com a definição da parábola, essas duas distâncias são iguais. Portanto, podemos escrever a equação:
Para eliminar a raiz e o valor absoluto, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Agora, expandimos os quadrados:
Simplificando, cancelamos dos dois lados e agrupamos os termos:
Juntando os termos semelhantes:
Subtraindo 25 de ambos os lados:
Passo 5
Podemos organizar a equação de forma padrão para uma parábola vertical:
Completando o quadrado para os termos de :
Isolando :
Finalmente, escrevemos a equação da parábola na forma padrão: