Nas hipérboles abaixo, indique os focos, os vértices e as assíntotas. Esboce os seus respectivos gráficos.
(b) 4 x^2-9 y^2+16 x+54 y-29=0

Passo 1

Olá! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para identificar os focos, os vértices e as assíntotas da hipérbole dada pela equação . Para isso, vamos precisar usar conceitos de Geometria Analítica, especialmente sobre a forma padrão da equação da hipérbole. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, precisamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. Para isso, vamos reorganizar os termos e completar o quadrado para as variáveis 4x^2 - 9y^2 +16x +54y -29 =0 e 4x^2 +16x -9y^2 +54y =29.
A equação dada é:
Vamos agrupar os termos de e :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 4x^2 +16x = 4(x^2 +4x) e 4(x^2 +4x +4 -4) = 4((x+2)^2 -4) = 4(x+2)^2 -16.
Primeiro, nos concentramos nos termos de -9y^2 +54y = -9(y^2 -6y):
-9(y^2 -6y +9 -9) = -9((y-3)^2 -9) = -9(y-3)^2 +81
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos :
Agora, fazemos o mesmo para os termos de :
Completando o quadrado:

Passo 4

Substituímos essas expressões de volta na equação original:
4(x+2)^2 -16 -9(y-3)^2 +81 =29
Simplificamos os termos constantes:
-16 +81 =65
Então, a equação fica:
4(x+2)^2 -9(y-3)^2 +65 =29
Subtraindo 65 de ambos os lados:
4(x+2)^2 -9(y-3)^2 =-36

Passo 5

Para obter a forma padrão, dividimos todos os termos por 4(x+2)^2-36 - 9(y-3)^2-36 =1:
-(x+2)^29 + (y-3)^24 =1
Simplificando as frações:
(y-3)^24 - (x+2)^29 =1
Podemos reescrever isso como:

Passo 6

Agora, identificamos os parâmetros da hipérbole na forma padrão :
  • Centro
  • então
  • então
Como a variável vem primeiro e tem coeficiente positivo, a hipérbole é vertical.

Passo 7

Para encontrar os vértices, adicionamos e subtraímos do centro na direção vertical:
  • Vértice superior:
  • Vértice inferior:

Passo 8

Os focos estão localizados a uma distância do centro, onde .
Então, os focos são:
  • Foco superior:
  • Foco inferior:

Passo 9

As assíntotas de uma hipérbole vertical são dadas por equações da forma:
y = k pm ab(x - h)
Substituindo os valores:
y = 3 pm 23(x +2)
Portanto, as assíntotas são:
y = 23x + 133
y = -23x + 53

Resposta

Os elementos da hipérbole y = 23x + 133 são:
  • Centro: y = -23x + 53
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Assíntotas:

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