Nas hipérboles abaixo, indique os focos, os vértices e as assíntotas. Esboce os seus respectivos gráficos.
(b)
(b)
Passo 1
Olá! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para identificar os focos, os vértices e as assíntotas da hipérbole dada pela equação
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Geometria Analítica, especialmente sobre a forma padrão da equação da hipérbole. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, precisamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. Para isso, vamos reorganizar os termos e completar o quadrado para as variáveis
e
.
A equação dada é:
Vamos agrupar os termos de
e
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e
.
Primeiro, nos concentramos nos termos de
:
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos
:
Agora, fazemos o mesmo para os termos de
:
Completando o quadrado:
Passo 4
Substituímos essas expressões de volta na equação original:
Simplificamos os termos constantes:
Então, a equação fica:
Subtraindo 65 de ambos os lados:
Passo 5
Para obter a forma padrão, dividimos todos os termos por
:
Simplificando as frações:
Podemos reescrever isso como:
Passo 6
Agora, identificamos os parâmetros da hipérbole na forma padrão
:
- Centro
-
então -
então
Como a variável
vem primeiro e tem coeficiente positivo, a hipérbole é vertical.
Passo 7
Para encontrar os vértices, adicionamos e subtraímos
do centro na direção vertical:
- Vértice superior:
- Vértice inferior:
Passo 8
Os focos estão localizados a uma distância
do centro, onde
.
Então, os focos são:
- Foco superior:
- Foco inferior:
Passo 9
As assíntotas de uma hipérbole vertical são dadas por equações da forma:
Substituindo os valores:
Portanto, as assíntotas são:
Resposta
Os elementos da hipérbole
são:
- Centro:
- Vértices:
e - Focos:
e - Assíntotas: