Nas hipérboles abaixo, indique os focos, os vértices e as assíntotas. Esboce os seus respectivos gráficos.
(b)

Passo 1

Olá! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para identificar os focos, os vértices e as assíntotas da hipérbole dada pela equação . Para isso, vamos precisar usar conceitos de Geometria Analítica, especialmente sobre a forma padrão da equação da hipérbole. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, precisamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. Para isso, vamos reorganizar os termos e completar o quadrado para as variáveis e .
A equação dada é:
Vamos agrupar os termos de e :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e .
Primeiro, nos concentramos nos termos de :
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos :
Agora, fazemos o mesmo para os termos de :
Completando o quadrado:

Passo 4

Substituímos essas expressões de volta na equação original:
Simplificamos os termos constantes:
Então, a equação fica:
Subtraindo 65 de ambos os lados:

Passo 5

Para obter a forma padrão, dividimos todos os termos por :
Simplificando as frações:
Podemos reescrever isso como:

Passo 6

Agora, identificamos os parâmetros da hipérbole na forma padrão :
  • Centro
  • então
  • então
Como a variável vem primeiro e tem coeficiente positivo, a hipérbole é vertical.

Passo 7

Para encontrar os vértices, adicionamos e subtraímos do centro na direção vertical:
  • Vértice superior:
  • Vértice inferior:

Passo 8

Os focos estão localizados a uma distância do centro, onde .
Então, os focos são:
  • Foco superior:
  • Foco inferior:

Passo 9

As assíntotas de uma hipérbole vertical são dadas por equações da forma:
Substituindo os valores:
Portanto, as assíntotas são:

Resposta

Os elementos da hipérbole são:
  • Centro:
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Assíntotas:

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(b) Foco e diretriz .
Considere as matrizes:
Verifique que