Considere as matrizes:
A=[rrr 2 & 1 & -1 3 & 0 & 4 ] e B=[rr 1 & 0 -2 & 1 3 & 5 ]
Verifique que (A B)^t=B^t A^t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes, a e a , e precisamos verificar se a transposta do produto delas, ou seja, , é igual ao produto das transpostas na ordem inversa, . Para fazer isso, vamos usar conhecimentos de multiplicação de matrizes e transposição. Vamos passo a passo para entender bem como isso funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como multiplicar duas matrizes. Para multiplicar de tamanho com de tamanho , o resultado será uma matriz de tamanho . Cada elemento da matriz é obtido multiplicando as linhas de pelas colunas de e somando os resultados.

Passo 3

Vamos calcular o produto A = 2 & 1 & -1 3 & 0 & 4 , B = 1 & 0 -2 & 1 3 & 5 :
c11 = (2)(1) + (1)(-2) + (-1)(3) = 2 - 2 - 3 = -3
Calculando cada elemento de c12 = (2)(0) + (1)(1) + (-1)(5) = 0 + 1 - 5 = -4 :
c21 = (3)(1) + (0)(-2) + (4)(3) = 3 + 0 + 12 = 15
c22 = (3)(0) + (0)(1) + (4)(5) = 0 + 0 + 20 = 20
C = A B = -3 & -4 15 & 20
Assim, a matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a transposta de (A B)^t = C^t = -3 & 15 -4 & 20 , ou seja, . Transpor uma matriz significa trocar suas linhas por colunas. Então, a transposta de será:

Passo 5

Vamos calcular as transpostas das matrizes B^t = 1 & -2 & 3 0 & 1 & 5 e A^t = 2 & 3 1 & 0 -1 & 4 individualmente.
Primeiro, a transposta de :
Depois, a transposta de :

Passo 6

Agora, vamos multiplicar B^t A^t = 1 & -2 & 3 0 & 1 & 5 2 & 3 1 & 0 -1 & 4 por d11 = (1)(2) + (-2)(1) + (3)(-1) = 2 - 2 - 3 = -3 :
d12 = (1)(3) + (-2)(0) + (3)(4) = 3 + 0 + 12 = 15
Calculando cada elemento do produto:
d21 = (0)(2) + (1)(1) + (5)(-1) = 0 + 1 - 5 = -4
d22 = (0)(3) + (1)(0) + (5)(4) = 0 + 0 + 20 = 20
B^t A^t = -3 & 15 -4 & 20
Então, temos:

Resposta

Conferindo (A B)^t = -3 & 15 -4 & 20 = B^t A^t e , vemos que:
Portanto, está verificado!

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