Uma circunferência de raio tem seu centro no primeiro quadrante do plano, ou seja, que . Determine as condições sobre os números e de modo que a circunferência:
f) intersecte o eixo-x em dois pontos e o eixo-y em um ponto;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre circunferências no plano cartesiano. A gente precisa descobrir as condições para que uma circunferência com centro no primeiro quadrante (ou seja, e ) e raio interseccione o eixo-x em dois pontos e o eixo-y em um ponto só. Para resolver isso, vamos lembrar das propriedades das circunferências e como elas se comportam em relação aos eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação geral de uma circunferência:
Aqui, é o centro da circunferência e é o raio.

Passo 3

Para encontrar onde a circunferência corta o eixo-x, precisamos definir na equação da circunferência e resolver para :
Para que haja interseção com o eixo-x, o lado direito da equação precisa ser maior ou igual a zero:
E para que haja dois pontos de interseção, o lado direito precisa ser maior que zero:

Passo 4

Agora, vamos ver onde a circunferência corta o eixo-y. Para isso, definimos na equação da circunferência:
Para que haja interseção com o eixo-y, o lado direito da equação também precisa ser maior ou igual a zero:
Mas como queremos que a circunferência interseccione o eixo-y em um ponto só, isso significa que a circunferência é tangente ao eixo-y. Para isso, o lado direito da equação deve ser exatamente igual a zero:

Passo 5

Resumindo as condições que encontramos:
  1. Para cortar o eixo-x em dois pontos:
  2. Para cortar o eixo-y em um ponto:
Portanto, combinando essas duas condições, temos:

Resposta

As condições são .

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Obtenha a matriz inversa, se existir, de:
(a)
(b)
©

Respostas:

(a)
(b) não existe.
©
Considere as matrizes:
Calcule e para que as matrizes e comutem.
Resposta: e
Determine a equação da parábola e seus principais elementos, sabendo que ela tem vértice na origem,
(a) passa pelo ponto e tem reta focal paralela ao eixo ;