Uma circunferência de raio
tem seu centro
no primeiro quadrante do plano, ou seja, que
. Determine as condições sobre os números
e
de modo que a circunferência:
f) intersecte o eixo-x em dois pontos e o eixo-y em um ponto;
f) intersecte o eixo-x em dois pontos e o eixo-y em um ponto;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre circunferências no plano cartesiano. A gente precisa descobrir as condições para que uma circunferência com centro no primeiro quadrante (ou seja,
e
) e raio
interseccione o eixo-x em dois pontos e o eixo-y em um ponto só. Para resolver isso, vamos lembrar das propriedades das circunferências e como elas se comportam em relação aos eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação geral de uma circunferência:
Aqui,
é o centro da circunferência e
é o raio.
Passo 3
Para encontrar onde a circunferência corta o eixo-x, precisamos definir
na equação da circunferência e resolver para
:
Para que haja interseção com o eixo-x, o lado direito da equação precisa ser maior ou igual a zero:
E para que haja dois pontos de interseção, o lado direito precisa ser maior que zero:
Passo 4
Agora, vamos ver onde a circunferência corta o eixo-y. Para isso, definimos
na equação da circunferência:
Para que haja interseção com o eixo-y, o lado direito da equação também precisa ser maior ou igual a zero:
Mas como queremos que a circunferência interseccione o eixo-y em um ponto só, isso significa que a circunferência é tangente ao eixo-y. Para isso, o lado direito da equação deve ser exatamente igual a zero:
Passo 5
Resumindo as condições que encontramos:
- Para cortar o eixo-x em dois pontos:
- Para cortar o eixo-y em um ponto:
Portanto, combinando essas duas condições, temos:
Resposta
As condições são
.