Uma circunferência de raio r>0 tem seu centro C=(x0, y0) no primeiro quadrante do plano, ou seja, que x0>0, y0>0. Determine as condições sobre os números x0, yo e r de modo que a circunferência:
f) intersecte o eixo-x em dois pontos e o eixo-y em um ponto;
R a) r

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre circunferências no plano cartesiano. A gente precisa descobrir as condições para que uma circunferência com centro no primeiro quadrante (ou seja, e ) e raio interseccione o eixo-x em dois pontos e o eixo-y em um ponto só. Para resolver isso, vamos lembrar das propriedades das circunferências e como elas se comportam em relação aos eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação geral de uma circunferência:
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2
Aqui, é o centro da circunferência e é o raio.

Passo 3

Para encontrar onde a circunferência corta o eixo-x, precisamos definir (x - x0)^2 + (0 - y0)^2 = r^2 (x - x0)^2 + y0^2 = r^2 (x - x0)^2 = r^2 - y0^2 na equação da circunferência e resolver para r^2 - y0^2 >= 0 r >= y0 :
r > y0
Para que haja interseção com o eixo-x, o lado direito da equação precisa ser maior ou igual a zero:
E para que haja dois pontos de interseção, o lado direito precisa ser maior que zero:

Passo 4

Agora, vamos ver onde a circunferência corta o eixo-y. Para isso, definimos (0 - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2 x0^2 + (y - y0)^2 = r^2 (y - y0)^2 = r^2 - x0^2 na equação da circunferência:
r^2 - x0^2 >= 0 r >= x0
Para que haja interseção com o eixo-y, o lado direito da equação também precisa ser maior ou igual a zero:
r^2 - x0^2 = 0 r = x0
Mas como queremos que a circunferência interseccione o eixo-y em um ponto só, isso significa que a circunferência é tangente ao eixo-y. Para isso, o lado direito da equação deve ser exatamente igual a zero:

Passo 5

Resumindo as condições que encontramos:
  1. Para cortar o eixo-x em dois pontos: y0 < r = x0
  2. Para cortar o eixo-y em um ponto:
Portanto, combinando essas duas condições, temos:

Resposta

As condições são .

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