Considere as matrizes:
A=[rr 2 & 1 3 & -1 ] e B=[rr x & y 6 & -1 ]
Calcule x e y para que as matrizes A e B comutem.
Resposta: x=5 e y=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá duas matrizes, A e B, e pede para encontrar os valores de e que fazem com que essas matrizes “comutem”. Isso significa que multiplicar A por B deve dar o mesmo resultado que multiplicar B por A. Vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes e propriedades de comutatividade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como multiplicar matrizes. Se temos duas matrizes e , o produto é outra matriz onde cada elemento é a soma dos produtos dos elementos das linhas de pelas colunas de .

Passo 3

Vamos calcular AB = A times B = 2 & 1 3 & -1 times x & y 6 & -1 :
AB = 2x + 1 times 6 & 2y + 1 times (-1) 3x + (-1) times 6 & 3y + (-1) times (-1) = 2x + 6 & 2y - 1 3x - 6 & 3y + 1
Para multiplicar, fazemos:

Passo 4

Agora, vamos calcular BA = B times A = x & y 6 & -1 times 2 & 1 3 & -1 :
BA = x times 2 + y times 3 & x times 1 + y times (-1) 6 times 2 + (-1) times 3 & 6 times 1 + (-1) times (-1) = 2x + 3y & x - y 12 - 3 & 6 + 1 = 2x + 3y & x - y 9 & 7
Multiplicando:

Passo 5

Para que , os elementos correspondentes das matrizes resultantes devem ser iguais. Então, igualamos cada posição:

Passo 6

Vamos resolver as equações:
Da equação 3:
3x - 6 = 9 3x = 15 x = 5
Da equação 4:
3y + 1 = 7 3y = 6 y = 2
Podemos verificar se esses valores satisfazem as outras equações:
Da equação 1:
2(5) + 6 = 2(5) + 3(2) 10 + 6 = 10 + 6 16 = 16 (válido) á
Da equação 2:
2(2) - 1 = 5 - 2 4 - 1 = 3 3 = 3 (válido) á

Resposta

e

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