Esboce os gráficos e determine os elementos principais das cônicas abaixo.
(b)
;
(b)
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver a questão que pede para esboçar o gráfico e determinar os elementos principais da cônica dada pela equação
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre elipses, que são um tipo de cônica. Precisamos identificar os parâmetros da elipse para entender seu formato e posição no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores de a e b na equação da elipse. A equação geral da elipse é
, onde:
-
é o semi-eixo maior -
é o semi-eixo menor
No nosso caso:
-
então -
então
Passo 3
Agora, vamos determinar os elementos principais da elipse:
- Centro: A equação está na forma padrão, então o centro é no ponto
. - Semi-eixo maior (b): É 5, então o eixo maior está no eixo y.
- Semi-eixo menor (a): É 3, então o eixo menor está no eixo x.
- Vértices: São os pontos mais afastados do centro ao longo dos eixos.
- No eixo y:
- No eixo x:
- No eixo y:
- Focos: Os focos estão localizados a uma distância
do centro, onde . Então, os focos estão em .
Passo 4
Com esses elementos, podemos esboçar o gráfico da elipse:
- Desenhe um sistema de eixos com o centro na origem
. - Marque os vértices em
e no eixo y, e em e no eixo x. - Desenhe a elipse conectando esses pontos, garantindo que ela seja mais alongada no eixo y.
- Marque os focos em
e dentro da elipse.
Resposta
A elipse definida pela equação
possui:
- Centro:
- Semi-eixo maior: 5 unidades (ao longo do eixo y)
- Semi-eixo menor: 3 unidades (ao longo do eixo x)
- Vértices:
, , , - Focos:
e
O gráfico é uma elipse centrada na origem, mais alongada verticalmente.