Esboce os gráficos e determine os elementos principais das cônicas abaixo.
(b) x^29+y^225=1;

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver a questão que pede para esboçar o gráfico e determinar os elementos principais da cônica dada pela equação x^29+y^225=1. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre elipses, que são um tipo de cônica. Precisamos identificar os parâmetros da elipse para entender seu formato e posição no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores de a e b na equação da elipse. A equação geral da elipse é x^2a^2+y^2b^2=1, onde:
  • a é o semi-eixo maior
  • b é o semi-eixo menor
No nosso caso:
  • a^2 = 9 então a = 3
  • b^2 = 25 então b = 5

Passo 3

Agora, vamos determinar os elementos principais da elipse:
  • Centro: A equação está na forma padrão, então o centro é no ponto (0,0).
  • Semi-eixo maior (b): É 5, então o eixo maior está no eixo y.
  • Semi-eixo menor (a): É 3, então o eixo menor está no eixo x.
  • Vértices: São os pontos mais afastados do centro ao longo dos eixos.
    • No eixo y: (0, pm b) = (0, pm 5)
    • No eixo x: (pm a, 0) = (pm 3, 0)
  • Focos: Os focos estão localizados a uma distância c do centro, onde c = raizb^2 - a^2 = raiz25 - 9 = raiz16 = 4. Então, os focos estão em (0, pm 4).

Passo 4

Com esses elementos, podemos esboçar o gráfico da elipse:
  • Desenhe um sistema de eixos com o centro na origem (0,0).
  • Marque os vértices em (0,5) e (0,-5) no eixo y, e em (3,0) e (-3,0) no eixo x.
  • Desenhe a elipse conectando esses pontos, garantindo que ela seja mais alongada no eixo y.
  • Marque os focos em (0,4) e (0,-4) dentro da elipse.

Resposta

A elipse definida pela equação x^29+y^225=1 possui:
  • Centro: (0,0)
  • Semi-eixo maior: 5 unidades (ao longo do eixo y)
  • Semi-eixo menor: 3 unidades (ao longo do eixo x)
  • Vértices: (0,5), (0,-5), (3,0), (-3,0)
  • Focos: (0,4) e (0,-4)
    O gráfico é uma elipse centrada na origem, mais alongada verticalmente.

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