Determine a equação da parábola e seus principais elementos, sabendo que ela tem vértice na origem,
(a) passa pelo ponto (9,6) e tem reta focal paralela ao eixo O X;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a equação de uma parábola que tem o vértice na origem, passa pelo ponto (9,6) e tem a reta focal paralela ao eixo OX. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a forma das parábolas e como suas características são definidas. Vamos precisar usar fórmulas da geometria analítica relacionadas às parábolas e aplicar um pouco de álgebra para encontrar a equação certa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a orientação da parábola. Como a reta focal (que é a linha que contém o foco e é paralela ao eixo de simetria) é paralela ao eixo OX, isso significa que a parábola está aberta para a direita ou para a esquerda. A equação geral para uma parábola com vértice na origem aberta na direção do eixo X é:
y^2 = 4px
Aqui, p é a distância do vértice ao foco. Se p é positivo, a parábola abre para a direita; se p é negativo, abre para a esquerda.

Passo 3

Agora, sabemos que a parábola passa pelo ponto (9,6). Vamos substituir esses valores na equação para encontrar o valor de p.
Substituindo x = 9 e y = 6 na equação y^2 = 4px:
6^2 = 4p cdot 9
36 = 36p

Passo 4

Resolvendo a equação acima para p:
36p = 36
p = 1
Então, p = 1. Isso significa que a distância do vértice ao foco é 1 unidade e que a parábola abre para a direita (já que p é positivo).

Passo 5

Com o valor de p encontrado, podemos escrever a equação completa da parábola:
y^2 = 4 cdot 1 cdot x
y^2 = 4x

Resposta

A equação da parábola é y^2 = 4x, com vértice na origem, foco em (1,0) e a reta focal paralela ao eixo OX.

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