Determine a equação da parábola e seus principais elementos, sabendo que ela tem vértice na origem,
(a) passa pelo ponto
e tem reta focal paralela ao eixo
;
(a) passa pelo ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a equação de uma parábola que tem o vértice na origem, passa pelo ponto
e tem a reta focal paralela ao eixo
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a forma das parábolas e como suas características são definidas. Vamos precisar usar fórmulas da geometria analítica relacionadas às parábolas e aplicar um pouco de álgebra para encontrar a equação certa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a orientação da parábola. Como a reta focal (que é a linha que contém o foco e é paralela ao eixo de simetria) é paralela ao eixo
, isso significa que a parábola está aberta para a direita ou para a esquerda. A equação geral para uma parábola com vértice na origem aberta na direção do eixo
é:
Aqui,
é a distância do vértice ao foco. Se
é positivo, a parábola abre para a direita; se
é negativo, abre para a esquerda.
Passo 3
Agora, sabemos que a parábola passa pelo ponto
. Vamos substituir esses valores na equação para encontrar o valor de
.
Substituindo
e
na equação
:
Passo 4
Resolvendo a equação acima para
:
Então,
. Isso significa que a distância do vértice ao foco é 1 unidade e que a parábola abre para a direita (já que
é positivo).
Passo 5
Com o valor de
encontrado, podemos escrever a equação completa da parábola:
Resposta
A equação da parábola é
, com vértice na origem, foco em
e a reta focal paralela ao eixo
.
Exercícios relacionados
Considere as matrizes:
Calcule
e
para que as matrizes
e
comutem.
Resposta: e
Resposta:
Uma circunferência de raio
tem seu centro
no primeiro quadrante do plano, ou seja, que
. Determine as condições sobre os números
e
de modo que a circunferência:
f) intersecte o eixo-x em dois pontos e o eixo-y em um ponto;
f) intersecte o eixo-x em dois pontos e o eixo-y em um ponto;
Dadas as matrizes
e
tais que
, determine os valores de
e
.
Resposta: e
Resposta:
Determine a equação da parábola e seus principais elementos, sabendo que ela tem vértice na origem,
(d) e diretriz .
(d) e diretriz