Determine a equação da parábola e seus principais elementos, sabendo que ela tem vértice na origem,
(a) passa pelo ponto e tem reta focal paralela ao eixo ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a equação de uma parábola que tem o vértice na origem, passa pelo ponto e tem a reta focal paralela ao eixo . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a forma das parábolas e como suas características são definidas. Vamos precisar usar fórmulas da geometria analítica relacionadas às parábolas e aplicar um pouco de álgebra para encontrar a equação certa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a orientação da parábola. Como a reta focal (que é a linha que contém o foco e é paralela ao eixo de simetria) é paralela ao eixo , isso significa que a parábola está aberta para a direita ou para a esquerda. A equação geral para uma parábola com vértice na origem aberta na direção do eixo é:
Aqui, é a distância do vértice ao foco. Se é positivo, a parábola abre para a direita; se é negativo, abre para a esquerda.

Passo 3

Agora, sabemos que a parábola passa pelo ponto . Vamos substituir esses valores na equação para encontrar o valor de .
Substituindo e na equação :

Passo 4

Resolvendo a equação acima para :
Então, . Isso significa que a distância do vértice ao foco é 1 unidade e que a parábola abre para a direita (já que é positivo).

Passo 5

Com o valor de encontrado, podemos escrever a equação completa da parábola:

Resposta

A equação da parábola é , com vértice na origem, foco em e a reta focal paralela ao eixo .

Exercícios relacionados

Considere as matrizes:
Calcule e para que as matrizes e comutem.
Resposta: e
Uma circunferência de raio tem seu centro no primeiro quadrante do plano, ou seja, que . Determine as condições sobre os números e de modo que a circunferência:
f) intersecte o eixo-x em dois pontos e o eixo-y em um ponto;
Dadas as matrizes e tais que , determine os valores de e .
Resposta: e
Determine a equação da parábola e seus principais elementos, sabendo que ela tem vértice na origem,
(d) e diretriz .