Obtenha a matriz inversa, se existir, de:
(a) A=[lll1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1]
(b) B=[lll0 & 1 & 0 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0]
© C=[lll0 & 0 & 1 1 & 2 & 0 1 & 0 & 0]

Respostas:

(a) A^-1=[rrr1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1]
(b) B^-1 não existe.
© C^-1=[rrr0 & 0 & 1 0 & 1 / 2 & -1 / 2 1 & 0 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as matrizes inversas de três matrizes diferentes, se elas existirem. Pra isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinante e métodos de inversão de matrizes. Vamos analisar cada matriz uma por uma.

Passo 2

Parte (a): Encontrar a inversa de A
Primeiro, vamos olhar para a matriz A = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 :
A^-1 = 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1
Essa é uma matriz triangular superior, o que facilita nossa vida! Para encontrar a inversa, podemos usar o método de inversão de matrizes triangulares.
  1. Verificar se A é invertível: Como A é triangular e todos os elementos da diagonal são 1 (não nulos), o determinante de A é 1, então A é invertível.
  2. Encontrar a inversa: Para matrizes triangulares com 1 na diagonal, a inversa também será triangular, e podemos encontrar os elementos acima da diagonal invertendo os sinais dos elementos correspondentes.
Então, a inversa de A fica:

Passo 3

Parte (b): Encontrar a inversa de B
Agora, vamos para a matriz B = 0 & 1 & 0 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 :
det(B) = 0 times (1 times 0 - 1 times 1) - 1 times (1 times 0 - 1 times 0) + 0 times (1 times 1 - 1 times 1) = 0 - 0 + 0 = 0
Vamos verificar se B pode ser invertida.
  1. Calcular o determinante de B: Se o determinante for zero, ela não tem inversa.
Como o determinante é zero, significa que B não é invertível.

Passo 4

Parte ©: Encontrar a inversa de C
Por último, vamos resolver para a matriz C = 0 & 0 & 1 1 & 2 & 0 1 & 0 & 0 :
det(C) = 0 times (2 times 0 - 0 times 0) - 0 times (1 times 0 - 0 times 1) + 1 times (1 times 0 - 2 times 1) = 0 - 0 - 2 = -2
Vamos usar o método da matriz adjunta para encontrar a inversa.
  1. Calcular o determinante de C:
C^-1 = 0 & 0 & 1 0 & 12 & -12 1 & 0 & 0
Como o determinante é diferente de zero (-2), C é invertível.
  1. Encontrar a adjunta de C: Encontra-se a matriz dos cofatores e depois transpõe.
  2. Calcular a inversa: Multiplica a adjunta pelo inverso do determinante ( ).
Após os cálculos, a inversa de C fica:

Resposta

(a) 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1
(b) 0 & 0 & 1 0 & 12 & -12 1 & 0 & 0 não existe.
©

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