Uma circunferência de raio tem seu centro no primeiro quadrante do plano, ou seja, que . Determine as condições sobre os números e de modo que a circunferência:
d) intersecte o eixo-y em dois pontos;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma circunferência com raio e centro no ponto que está no primeiro quadrante do plano, ou seja, e . A gente precisa descobrir quais condições os números , e devem satisfazer para que essa circunferência intercepte o eixo-y em dois pontos. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que o eixo-y é representado pela reta onde . Então, para encontrar os pontos de interseção da circunferência com o eixo-y, precisamos substituir na equação da circunferência.
A equação geral da circunferência com centro em e raio é:

Passo 3

Substituindo na equação da circunferência, temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, queremos encontrar os valores de que satisfazem essa equação. Vamos isolar :

Passo 5

Para que a circunferência intercepte o eixo-y em dois pontos distintos, a expressão deve ser positiva, ou seja:
Isso porque, se , a circunferência tocaria o eixo-y em apenas um ponto (ponto de tangência), e se , não haveria interseção.

Passo 6

Resolvendo a desigualdade:
Tirando a raiz quadrada dos dois lados (lembrando que e ):

Passo 7

Então, para a circunferência interseccionar o eixo-y em dois pontos, o raio deve ser maior que a coordenada do centro da circunferência.

Resposta

A condição necessária é que o raio seja maior que , ou seja:

Exercícios relacionados

Considere as matrizes
(a) Determine os valores de para que a matriz seja não singular.
(b) Faça em e calcule .
© Calcule .
(d) Calcule , com em .

Respostas:

(a) e
(b) -2
©
(d)
Determine a equação da parábola e seus principais elementos, sabendo que ela tem vértice na origem,
(d) e diretriz .
Uma elipse tem seu centro na origem e um de seus vértices sobre a reta focal é . Se a elipse passa pelo ponto , determine sua equação, seus vértice e seus focos. Faça um esboço da elipse.
Determine de modo que e sejam ortogonais, onde:
b) .