Uma circunferência de raio
tem seu centro
no primeiro quadrante do plano, ou seja, que
. Determine as condições sobre os números
e
de modo que a circunferência:
d) intersecte o eixo-y em dois pontos;
d) intersecte o eixo-y em dois pontos;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma circunferência com raio
e centro no ponto
que está no primeiro quadrante do plano, ou seja,
e
. A gente precisa descobrir quais condições os números
,
e
devem satisfazer para que essa circunferência intercepte o eixo-y em dois pontos. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que o eixo-y é representado pela reta onde
. Então, para encontrar os pontos de interseção da circunferência com o eixo-y, precisamos substituir
na equação da circunferência.
A equação geral da circunferência com centro em
e raio
é:
Passo 3
Substituindo
na equação da circunferência, temos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, queremos encontrar os valores de
que satisfazem essa equação. Vamos isolar
:
Passo 5
Para que a circunferência intercepte o eixo-y em dois pontos distintos, a expressão
deve ser positiva, ou seja:
Isso porque, se
, a circunferência tocaria o eixo-y em apenas um ponto (ponto de tangência), e se
, não haveria interseção.
Passo 6
Resolvendo a desigualdade:
Tirando a raiz quadrada dos dois lados (lembrando que
e
):
Passo 7
Então, para a circunferência interseccionar o eixo-y em dois pontos, o raio
deve ser maior que a coordenada
do centro da circunferência.
Resposta
A condição necessária é que o raio
seja maior que
, ou seja: