Uma circunferência de raio r>0 tem seu centro C=(x0, y0) no primeiro quadrante do plano, ou seja, que x0>0, y0>0. Determine as condições sobre os números x0, yo e r de modo que a circunferência:
d) intersecte o eixo-y em dois pontos;
R a) r

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma circunferência com raio e centro no ponto que está no primeiro quadrante do plano, ou seja, e . A gente precisa descobrir quais condições os números , e devem satisfazer para que essa circunferência intercepte o eixo-y em dois pontos. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que o eixo-y é representado pela reta onde (x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2 . Então, para encontrar os pontos de interseção da circunferência com o eixo-y, precisamos substituir na equação da circunferência.
A equação geral da circunferência com centro em e raio é:

Passo 3

Substituindo (0 - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2 na equação da circunferência, temos:
x0^2 + (y - y0)^2 = r^2
Simplificando:

Passo 4

Agora, queremos encontrar os valores de (y - y0)^2 = r^2 - x0^2 que satisfazem essa equação. Vamos isolar :

Passo 5

Para que a circunferência intercepte o eixo-y em dois pontos distintos, a expressão r^2 - x0^2 > 0 deve ser positiva, ou seja:
Isso porque, se , a circunferência tocaria o eixo-y em apenas um ponto (ponto de tangência), e se , não haveria interseção.

Passo 6

Resolvendo a desigualdade:
r^2 - x0^2 > 0 Rightarrow r^2 > x0^2
Tirando a raiz quadrada dos dois lados (lembrando que r > x0 e ):

Passo 7

Então, para a circunferência interseccionar o eixo-y em dois pontos, o raio deve ser maior que a coordenada do centro da circunferência.

Resposta

A condição necessária é que o raio r > x0 seja maior que , ou seja:

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